Моє питання: які ж чисел більше: парних або непарних - НЕ викликав великого ажіотажу)))
Відповідаю на нього сама.
Почну з теорії.
І це питання підведе нас до поняття самої «простий» нескінченності.
Витоки того, про що зараз піде мова, лежать в теорії множин, але в неї я зараз заглиблюватися не буду.
Розповім лише, що будь-яка множина складається з деяких елементів. Кількість елементів може бути кінцевим або нескінченним. Безліч яблук в кошику, безліч квартир в будинку, безліч книг на полиці ... - все це приклади кінцевих множин. Якщо в кошику 10 яблук, - число елементів множини яблук в кошику одно десяти.
Як же визначається число елементів в нескінченній множині?
Узагальненим поняттям кількості елементів на довільну безліч є поняття потужності.
Тобто в прикладі з кошиком мова йде про потужності безлічі яблук. І ця потужність дорівнює 10.
Потужність безлічі насправді - це абстракція. Вона визначається як те спільне, що є у всіх множин, (кількісно) еквівалентних даному.
І ось тут саме головне:
Два безлічі називаються еквівалентними, якщо між ними можна встановити взаимнооднозначное відповідність.
Пам'ятайте приклад з вівцями?
Перша вийшла вівця - 1
Друга вийшла вівця - 2
Третя вийшла вівця - 3
Четверта вийшла вівця - 4
П'ята вийшла вівця - 5
Шоста вийшла вівця - 6
Це і є приклад взаємооднозначної відповідності між безліччю, що складається з шести овець і безліччю чисел:.
* Це нам стане в нагоді трохи нижче, як тільки ми закінчимо з теорією.
Потужності часто називаються кардинальними числами.
Найменшою нескінченної потужністю є потужність НАТУРАЛЬНИХ чисел. Позначається вона алеф-нуль.
Загальна кількість всіх цілих чисел, натуральних чисел і дробів дорівнюють одному і тому ж нескінченного кардинального числа алеф-нуль!
Щоб довести будь-яке з цих тверджень досить встановити взаимнооднозначное відповідність між множиною натуральних чисел і конкретним безліччю, потужність якого ми хочемо знайти. Якщо така відповідність є, безлічі еквівалентні по даному вище визначенню.
Побудуємо відповідність, припустимо, для парних чисел.
Отримаємо (Ч - парні числа; Ц - цілі):
Зауважимо, що кожне число в лівому і правому стовпцях зустрічаються один і тільки один раз. Відповідність взаимнооднозначное.
Це і доводить однакову кількість елементів множини парних і всіх натуральних чисел.
З усіма іншими множинами (крім дробів) розібратися настільки ж легко.
З дробом (раціональними числами) розбиратися будемо потім. Але їх кількість, як це не парадоксально, - теж одно алеф-нуль.