поточкова збіжність

нехай n = 1 ∞ \> _ ^> - послідовність функцій виду f n. X → R \ colon X \ to \ mathbb> (n = 1. 2. ...) де X - область визначення, єдина для всіх функцій сімейства.

Якщо у цій послідовності є (кінцевий) межа, то точці x можна зіставити межа цієї послідовності, позначивши його f (x):

Якщо розглянути всі точки безлічі E ⊂ X. в яких заданий ліміт існує, то можна визначити функцію f. E → R>.

Таким чином певна функція називається поточечной межею послідовності функцій сімейства n = 1 ∞ \> _ ^> на безлічі E:

f n → f ⇔ (∀ x ∈ E fn (x) → f (x) n → ∞) \ to f \ quad \\ Leftrightarrow \ left (\ forall x \ in E \ quad f_ (x) \ to f (x) \ quad n \ to \ infty \ right)>.

Концепція поточечной збіжності в деякому сенсі контрастує з поняттям рівномірної збіжності. конкретно,

Це твердження більш сильно, ніж твердження поточечной збіжності: кожна рівномірно сходиться функціональна послідовність сходиться поточечно до тієї ж граничної функції, однак зворотне, взагалі кажучи, невірно. наприклад,

lim n → ∞ x n = 0 x ^ = 0> поточечно на інтервалі [0,1), але не рівномірно на інтервалі [0,1).

Поточечной межа послідовності безперервних функцій може не бути безперервною функцією, але тільки в тому випадку, якщо збіжність одночасно не є і рівномірною. Наприклад, функція

приймає значення 1, якщо x ціле, і 0, якщо x не є цілим, і тому не є безперервною для цілих чисел.

Значення функції fn не повинні обов'язково бути дійсними, а можуть належати будь-якій топологічному простору з тим, щоб концепція поточечной збіжності мала сенс. З іншого боку, рівномірна збіжність не має, взагалі кажучи, сенсу для функцій, які приймають значення в топологічних просторах, однак має сенс в тому окремому випадку, коли топологічний простір забезпечено мірою.

Поточкова збіжність така ж, як збіжність в топології твори на просторі YX. Якщо Y компакт. то, за теоремою Тихонова. простір YX також компакт.

В теорії міри вводиться поняття збіжності майже всюди послідовності вимірних функцій. визначених на вимірному просторі. яке означає збіжність майже всюди. Теорема Єгорова стверджує, що поточкова збіжність майже всюди на безлічі кінцевої заходи тягне рівномірну збіжність на безлічі лише трохи меншому.