Ми почнемо з обговорення потенційної енергії, яку має заряд в електростатичному полі. Перш за все необхідно згадати, за яких умов можна взагалі ввести поняття потенційної енергії.
3.4.1 Консервативні сили
Сила називається консервативної (або потенційної), якщо робота цієї сили не залежить від форми траєкторії і визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла.
Нехай, наприклад, тіло під дією консервативної сили
перемістилося з початкової
точки 1 в кінцеву точку 2 (рис. 3.16). Тоді робота сили
залежить тільки від положення
самих точок 1 і 2, але не від траєкторії руху тіла. Наприклад, для траєкторій 1. a. 2 і 1. b. 2 величина A буде однаковою.
Мал. 3.16. До поняття консервативної сили
Відзначимо, що робота консервативної сили по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю. Дійсно, давайте вийдемо з точки 1 по траєкторії 1. a. 2 і повернемося назад по траєкторії 2. b. 1. На першій траєкторії сила виконає роботу A, а на другий траєкторії робота буде дорівнює A. В результаті сумарна робота виявиться нульовим.
Так ось, поняття потенційної енергії можна ввести тільки в разі консервативної сили. Потенційна енергія W це математичний вираз, залежне від координат тіла, таке, що робота сили дорівнює зміні цього виразу зі знаком мінус:
Або, що те ж саме:
A = (W 2 W 1) = W 1 W 2:
Як бачимо, робота консервативної сили є різниця значень потенційної енергії, обчислених відповідно для початкового та кінцевого положень тіла.
Приклади консервативних сил вам добре відомі. Наприклад, сила тяжіння є консервативною. Сила пружності пружини теж консервативна. Саме тому ми можемо говорити про потенційної енергії тіла, піднятого над землею, або про потенційної енергії деформованої пружини.
А ось сила тертя не консервативною: робота сили тертя залежить від форми траєкторії і не дорівнює нулю на замкнутому шляху. Тому не існує ніякої ¾потенціальной енергії тіла в полі сили тренія¿.
3.4.2 Потенційність електростатичного поля
Виявляється, що сила, з якою електростатичне поле діє на заряджене тіло, також є консервативною. Робота цієї сили, що здійснюються при переміщенні заряду, називається роботою електростатичного поля. Маємо, таким чином, найважливіший факт:
Робота електростатичного поля не залежить від форми траєкторії, по якій переміщається заряд, і визначається лише початковим і кінцевим положеннями заряду. Робота поля по замкнутому шляху дорівнює нулю.
Цей факт називається також потенційністю електростатичного поля. Як і поле сили тяжіння, електростатичне поле є потенційним. Робота електростатичного поля однакова для всіх шляхів, за якими заряд може рухатися з однієї фіксованої точки простору в іншу.
Суворе математичне доказ потенційності електростатичного поля виходить за рамки шкільної програми. Однак ¾на фізичному рівні строгості¿ ми можемо переконатися в справедливості цього факту за допомогою наступного простого міркування.
Неважко бачити, що якби електростатичне поле не було потенційним, то можна було б побудувати вічний двигун! Справді, тоді існувала б замкнута траєкторія, при переміщенні заряду по якій поле здійснювало б позитивну роботу (і при цьому ніяких змін в оточуючих тілах не відбувалося б). Крутимо собі заряд по цій траєкторії, черпаємо необмежену кількість енергії нізвідки і всі енергетичні проблеми людства вирішені :-) Але такого, на жаль, не спостерігається це кричущим чином суперечить закону збереження енергії.
Так як електростатичне поле потенційно, ми можемо говорити про потенційної енергії заряду в цьому полі. Почнемо з простого і важливого випадку.
3.4.3 Потенційна енергія заряду в однорідному полі
Потенційна енергія тіла, піднятого над землею, дорівнює mgh. Випадок заряду в однорідному полі виявляється дуже схожим на цю механічну ситуацію.
Розглянемо однорідне електростатичне поле E, лінії напруженості якого спрямовані уздовж осі X (рис. 3.17). Нехай позитивний заряд q переміщається уздовж силової лінії з точки 1 (з координатою x 1) в точку 2 (з координатою x 2).
Мал. 3.18. Переміщення заряду в однорідному полі
Рухаючись з точки 1 в точку 2, давайте виберемо шлях 1. 3. 2, де точка 3 лежить на одній силовій лінії з точкою 1. Тоді робота A 32 на ділянці 32 дорівнює нулю адже ми подорожуємо перпендикулярно силі. В результаті отримаємо:
A = A 13 + A 32 = A 13 = qE (x 2 x 1):
Ми бачимо, що робота поля залежить лише від абсцис початкового і кінцевого положень заряду. Запишемо отриману формулу таким чином:
A = qEx 2 qEx 1 = ((qEx 2) (qEx 1)) = (W 2 W 1) = W:
Тут W 1 = qEx 1. W 2 = qEx 2. Робота поля, відповідно до формули (3.8), виявляється дорівнює зміні зі знаком мінус величини
Ця величина і є потенційна енергія заряду в однорідному електростатичному полі. Через x позначена абсциса точки, в якій шукається потенційна енергія. Нульовий рівень потенційної енергії в даному випадку відповідає початку координат x = 0 і на малюнках зображений пунктирною лінією, перпендикулярної лініям напруженості 4.
Нагадаємо, що поки вважається q> 0. З формули (3.9) випливає, що при русі заряду уздовж силової лінії потенційна енергія убуває з ростом x. Це природно: адже поле здійснює позитивну роботу, розганяючи заряд, а кінетична енергія заряду зростає за рахунок зменшення його потенційної енергії.
Нескладно показати, що формула (3.9) залишається справедливою і для q <0. В этом случае потенциальная энергия возрастает с ростом x. Это тоже понятно: ведь сила, с которой поле действует на заряд, теперь будет направлена влево, так что движение заряда вправо будет осуществляться против действия поля. Заряд тормозится полем, кинетическая энергия заряда уменьшается, а потенциальная энергия увеличивается.
Отже, важливий висновок: у формулі для потенційної енергії через q позначається алгебраїчна величина заряду (з урахуванням знака), а не його модуль.
4 Насправді нульовий рівень потенційної енергії можна вибирати будь-де. Іншими словами, потенційна енергія визначена лише з точністю до довільної аддитивной постійної C, т. Е. W = qEx + C. Нічого страшного в такій невизначеності немає: фізичним змістом має на потенційна енергія сама по собі, а різниця потенційних енергій, що дорівнює роботі поля. У цій різниці константа C скоротиться.
3.4.4 Потенційна енергія взаємодії точкових зарядів
Нехай два точкових заряди q 1 і q 2 знаходяться в вакуумі на відстані r один від одного. Можна показати, що потенційна енергія їх взаємодії дається формулою:
Ми приймаємо формулу (3.10) без доведення. Дві особливості цієї формули випливає обговорити.
По-перше, де знаходиться нульовий рівень потенційної енергії? Адже потенційна енергія, як видно з формули (3.10), в нуль звернутися не може. Але насправді нульовий рівень існує, і знаходиться він на нескінченності. Іншими словами, коли заряди розташовані дуже далеко один від одного, потенційна енергія їх взаємодії покладається рівною нулю (що логічно в цьому випадку заряди вже ¾не взаімодействуют¿).
По-друге, q 1 і q 2 це знову алгебраїчні величини зарядів, т. Е. Заряди з урахуванням їх знака.
Наприклад, потенційна енергія взаємодії двох однойменних зарядів буде позитивною. Чому? Якщо ми відпустимо їх, вони почнуть розганяти і віддалятися один від одного. Їх кінетична енергія зростає, отже потенційна енергія убуває. Але на нескінченності потенційна енергія перетворюється на нуль, а раз вона убуває до нуля, значить вона є позитивною.
А ось потенційна енергія взаємодії різнойменних зарядів виявляється негативною. Дійсно, давайте видалимо їх на дуже велику відстань один від одного так що потенційна енергія дорівнює нулю і відпустимо. Заряди почнуть розганяти, зближуючись, і потенційна енергія знову убуває. Але якщо вона була нулем, то куди їй спадати? Тільки в сторону негативних значень.
Формула (3.10) допомагає також обчислити потенційну енергію системи зарядів, якщо число зарядів більше двох. Для цього потрібно підсумувати енергії кожної пари зарядів. Ми не будемо виписувати загальну формулу; краще проілюструємо сказане простим прикладом, зображеним на рис. 3.19.
Мал. 3.19. Взаємодія трьох зарядів
Якщо заряди q 1. q 2. q 3 знаходяться в вершинах трикутника зі сторонами a, b, c, то потенційна енергія їх взаємодії дорівнює: