Навчався в приватному пансіоні Грегоріуса, в 1831 році перейшов в Московське відділення Медико-хірургічної академії і в 1835 році відмінно закінчив курс, причому одночасно отримав два звання: лікаря 1 відділення та ветеринарного лікаря 1 відділення і був нагороджений срібною медаллю.
Після цього Попов вступив до Катерининської лікарні позаштатним ординатором і присвятив себе вивченню хірургії. В цей час Катерининська лікарня складалася з клінік Академії; завідував нею відомий хірург професор Олександр Іванович Поль. під керівництвом якого А. П. Попов швидко набув значного досвіду в хірургії. Незабаром після закінчення курсу він приступив до підготовки до іспитів на ступінь медико-хірурга, і в 1836 році отримав цей ступінь.
Старанним вивченням оперативної хірургії і численними операціями Олександр Петрович Попов звернув на себе особливу увагу академічної конференції і президента Академії А. А. Ріхтера. і йому запропонували вирушити в закордонне відрядження для вдосконалення, з тим, щоб, після повернення в Росію, він зайняв професорську кафедру в одному з російських університетів; але життєві обставини перешкодили йому скористатися цією відрядженням.
У 1844 році Попов був визначений лікарем в Московську комісаріатську комісію.
У 1848 році він був звільнений з комісаріатський комісії і зайняв посаду старшого ординатора Катерининської лікарні та інспектора фельдшерської школи, що складалася при цій лікарні. Постійно перебуваючи при А. І. Поле. він був його головним помічником, брав діяльну участь у всіх його операціях і, крім того, викладав студентам оперативну хірургію, керуючи їх у виробництві операцій на трупах і на живих людях. Професор Поль цінував Попова дуже високо і говорив у своїй автобіографії, що П. розвинув в собі «чудовий талант відмінного оператора, талант, цілком оцінений вже вченим станом лікарів і публікою»; ці слова стосувалися до 1854 році. Попов пішов по стопах Поля і успадковував від нього професорську кафедру і лікарню.
У 1854 році він представив дисертацію про лікування звужень сечівника і отримав від Московського університету ступінь доктора медицини і хірургії, а потім був затверджений на посаді ад'юнкта госпітальної хірургічної клініки університету.
У 1862 році закінчився двадцятип'ятирічний термін його служби, але він залишений був в університеті ще на п'ять років.
У 1865 році Попов поїхав у відрядження за кордон для вивчення провідних клінік; але, мабуть, його мало цікавила Західна Європа, так як і на цей раз він відрядженням не скористався.
У 1865 році він був проведений в дійсного статського радника. а навесні 1866 року призначений медичним інспектором лікарень цивільного відомства в Москві.
- «Elephantiasis labiorum maiorum et clitoridis»;
- «М'ясо-кісткове пухлина виличної верхньощелепної кістки, заслоняли очей; операція »;
- «De urethrae stricturarum cura in genere atque de methodo Symeiana in specie» (дисертація); Москва. 1854 р 78 стор .;
- «Біограф. словник професорів і викладачів Московського Університету », частина II, М. 1855 р .;
- «Про результати оспопрививания при сифілісі».