Якщо еквівалентні дві кінцевих безлічі, то вони складаються з одного і того ж кількості елементів. Якщо еквівалентні між собою два нескінченних безлічі M і N. то кажуть, що M і N мають однакову Потужність.
Таким чином, потужність - це щось спільне, що є у будь-яких двох, еквівалентних між собою множин. Для кінцевих множин поняття потужності збігається зі звичним поняттям числа елементів множини.
Потужність безлічі натуральних чисел і будь-якого іншого рахункового безлічі ми будемо позначати l0. Це найменша потужність серед нескінченних множин.
Безлічі, еквівалентні безлічі всіх дійсних чи-сіл відрізка [0; 1], мають Потужність континууму. Ця потужність обоз-початок символом С (або l). Безлічі з потужністю континууму мають більш «високий порядок» нескінченності в порівнянні зі рахунковими множинами.
Для потужностей кінцевих множин є поняття «дорівнює-ства», а також «більше» і «менше». Ці поняття справедливі і для нескінченних множин.
Нехай А і В - два довільних безлічі, а M (А) і M (В) - їх потужності. Тоді можливі наступні випадки:
1. А еквівалентно деякій підмножині В. а В еквівалентно деякої частини А.
2. А містить певну частку або еквівалентну В. але в В немає частині, еквівалентній А.
3. В містить певну частку або еквівалентну А. але в А немає частині, еквівалентній В.
· У першому випадку безлічі А і В у силу теореми Кантора - Бернштейна еквівалентні між собою, т. Е. M (А) = M (В).
· У другому випадку природно вважати, що M (А)> M (В).
Отже, Будь-які дві множини або еквівалентні між собою (рівнопотужні), і тогдаM (А) = M (В), або задовольняють одному з двох співвідношень. M (А)> M (В) іліM (А) Ми відзначили, що рахункові безлічі - це «найменші» з нескінченних множин і їх потужність l0 - теж найменша. Ми також з'ясували, що існують нескінченні безлічі з потужністю більшою, ніж l, - це потужність континууму С (l). А чи існують множини, що мають потужність більшу, ніж потужність континууму? І чи існує якась «найвища» потужність чи ні? Позитивна відповідь на ці питання дає наступна теорема: Нехай М - деяка множина, а М * - безліч всіх його підмножин. Тоді безліч М * має потужність, велику, ніж потужність вихідного безлічі М: M (М *)> M (М). Отже, для будь-якої потужності ми можемо побудувати безліч більшої потужності, потім ще більшою і т. Д. Отримуючи таким чином необмежену зверху шкалу потужностей. Потужність безлічі М * позначають символом 2M. де M - потужність безлічі М. Сенс цього позначення можна зрозуміти, рас-смотрев випадок кінцевого М. Тоді теорему можна виразити нерівністю 2M> M. Зокрема, при M = l0 ми отримаємо нерівність 2l0> l0. Виникає питання, чому дорівнює потужність 2l0. Виявляється, що 2l0 = С. т. Е. Потужність безлічі підмножин натурального ряду дорівнює потужності континууму.