Розглянемо два поняття кривизни, які використовуються в геометрії і необхідні для опису нашого простору-часу в Загальній теорії відносності:
- Зовнішня кривизна. для кривої або поверхні S. яка знаходиться в деякому просторі E більшої розмірності - це міра того, наскільки S відрізняється від прямої лінії в E.
- Внутрішня кривизна визначає наскільки геометричні властивості фігури всередині заданого простору відрізняються від "плоскої геометрії" (яка містить Афінах геометрію), в незалежності від будь-якого іншого простору, що містить розглянуту фігуру.
зовнішня кривизна
Якщо рухатися уздовж кривої, її напрямок (вектор дотичної) може змінюватися. Кут відхилення цього напрямку для дуги гладкої кривої S біля заданої точки P. зазвичай пропорційний її довжині, точно (в разі дуги окружності) або наближено (наближення тим краще, чим менше дуга). Зовнішня кривизна S в точці P визначається як співвідношення відхилення (коефіцієнт пропорції):
Межа (для малих дуг S. містять P), від (Кута відхилення (в радіанах) / Довжина дуги).
Кривизна кола в евклідовой площині є величина обернена до радіусу цього кола.
На сфері "прямі лінії" (криві з нульовою кривизною) це "великі кола" з центром в центрі сфері. На Земній кулі, який наближено є сферою, екватор і меридіани - прямі, але паралелі (кола широти) є кривими.
Можна інтуїтивно розуміти кривизну кривої на площині, розглядаючи випадок дороги на горизонтальній поверхні, по якій їде автомобіль: кривизна дороги біля кожної точки "вимірюється" напрямом коліс, яке необхідно щоб їхати по дорозі і також як відчуття бокового тиску при русі на постійній швидкості.
Для підпростору S простору E. зовнішня кривизна S в E є мірою того, наскільки крива "пряма всередині S" вигнута всередині E. Коли S має розмірність> 1, це викривлення, як правило, не едіственное, а це багатовимірний об'єкт, оскільки це дає напрямок, перпендикулярний (дотичній підпросторі) S в (квадратичної) функції обраного напрямку кривої всередині S (точніше, якщо n = dim S і m = dim E. то зовнішня кривизна має n (n +1) (m -n) / 2 координат ). Але цю кривизну можна розглядати як одну величину, якщо вона складається з однакових значень у всіх напрямках.
Гауссова (внутрішня) кривизна
Гауссова кривизна - це внутрішня кривизна для часткового випадку поверхні (2-мірного простору), коли вона є скалярним полем.
Гауссову кривизну можна розуміти як "щільність кутів" описану далі.
Для будь-якої поверхні (2-мірного простору, тільки приблизно евклідовой в малих масштабу), сума кутів в радіанах будь-якого трикутника, може відрізнятися від π. Наприклад, на Землі, трикутник складається з екватора і двох меридіанів має два прямих кута, а третій кут (з вершиною в полюсі) може мати будь-яке значення.
Більш того, паралельний перенос уздовж будь-якої замкнутої кривої індукує поворот на кут α, який в разі трикутника збігається з різницею кутів:
У разі (2-мірної) сфери радіуса r в 3-вимірному евклідовому просторі, цей кут α пропорційний площі A області оточеній кривої, згідно з формулою
Гауссова кривизна цієї сфери має коефіцієнт пропорційності R = r -2. який дорівнює квадрату зовнішньої кривизни (r -1).
Сфери є особливим випадком кривих поверхонь, оскільки мають постійну гауссова кривизну. У більш загальному випадку, Гауссова кривизна поверхні є (неконстантним) полем і кут повороту α індукований паралельним перенесенням уздовж замкнутої кривої, є інтегралом цього поля по поверхні яку замикає крива.
ріманова кривизна
Ріманова кривизна є загальним випадком внутрішньої кривизни для простору довільної розмірності (вище 2). Це поле, яке нескалярное, але багатовимірне (тобто описується декількома компонентами в заданій системі координат). Для 3-мірного простору, Ріманова кривизна навколо кожної точки має розмірність 6. Для 4-мірного простору (такого як наш простір-час) вона має розмірність 20.
Є різні способи опису цього поля. Стандартний, "математичний" спосіб, грунтується на властивостях оператора коваріантною похідною, який описує зміни будь-якого векторного поля по сусідству з кожною точкою.
У загальному випадку, метафоричне опис поля як чогось вимірюваного в кожній точці; зміни поля будь-якого типу об'єктів (векторів або чогось ще) описується лінійним оператором чинним з простору "векторів швидкості" вимірюваних приладом в даній точці багатозначно (у векторному просторі де поле приймає значення) швидкості зміни вимірюваних значень поля.
Коваріантна похідна векторного поля в кожній точці є "найбільш точна" картина зміни поля навколо цієї точки, в тому сенсі, що вона відповідає частковим похідним цього поля, якщо вибрати систему координат, яка "найменш перекручена" біля цієї точки.
Властивості коваріантною похідною відрізняються від подібних властивостей часткових похідних в будь-якій фіксованій системі координат. Тому, що (якщо кривизна ненульова) координатна система не може бути "найменш спотвореної" у всій околиці точки, таким чином в околиці не можливо вибрати фіксовану систему координат, в якій коваріантна похідна прямо задається частковими похідними. Іншими словами, зміни вимірювані частковими похідними ті які виходять з афинной структури простору заданого в обраній системі координат, однак афинная структура відповідає плоскій геометрії, з відсутністю кривизни, що не є об'єктом нашого вивчення.
Тепер ми дамо інтуїтивне опис кривизни за допомогою розширення на вищі розмірності вище зазначеної ідеї про паралельний перенесення вздовж кривої.
Для кожної маленької петлі біля точки уявімо, що це замкнута петля, яку ми розріжемо в точці і перемістимо в плоске геометричне простір. Обидва закінчення на початку співпадали тепер відрізняються.
Щоб вони збігалися знову можна вирізати петлю в іншій точці, таким чином отримавши дві частини, а після цього перемістити одну частину по відношенню до іншої.
Це переміщення, яке повинно бути застосоване до однієї частини по відношенню до іншої так, щоб кінці збіглися (але кінці від нового розрізу відрізнялися), являетс поворотом (в загальному випадку, малим евклідовой рухом, яке більш повертає ніж переносить в тому сенсі, що в випадку повороту його центр знаходиться в або біля даній області).
У першому наближенні (для малих петель), цей поворот (його координати: напрямок, малий кут.), Не залежить від точки в якій ми розрізали петлю.
Тепер в якості петель можемо взяти маленькі паралелограми. Результатом паралельного перенесення на будь-який петлі може бути отримана з цих малих паралелограмів взявши поверхностьограніченную цієї петлею і розділивши цю поверхню на велику кількість малих паралелограмів (або трикутників, які є половиною паралелограма): загальний поворот при паралельному перенесенні навколо петлі виходить підсумовуванням (інтеграцією) всіх малих поворотів отриманими паралельним перенесенням уздовж кожного паралелограма.
Операція, яка кожній парі (малих) векторів зіставляє (малий) поворот отриманий при паралельному перенесенні вздовж малого паралелограма, чиє напрямок задано цими векторами, є билинейной, антисиметричною функцією цих векторів.
Малі повороти (значення цієї функції) можуть бути визначені як Білінійні антисиметричні форми, описані антисиметричного матрицями.
Щоб описати ріманово кривизну через координати, візьмемо приблизну "Декартову систему координат" малій околиці (в разі космології, це означає "мала" у порівнянні з розмірами всесвіту, але велика в порівнянні з галактикою ;-). По суті ми буде використовувати ці назви координат як мітки попарно ортогональних осей в цій околиці. Тоді кожна пара осей визначає малий паралелограм в цій околиці.
Простір білінійних антисиметричних форм n мірного простору має розмірність n (n-1) / 2, що відповідає кількості пар осей координат.
При n = 4, як в просторі-часі з координатами (x, y, z, t), маємо 6 пар. (X, y), (x, z), (y, z), (x, t), (y, t), (z, t).
Зібравши разом вище викладене маємо, що кривизна може бути описана як тензор з 4 індексами, отриманим з двох антисиметричних пар. У координатах, кожна компонента ріманово кривизни повинна бути позначена двома парами координат:
- одна пара координат позначає напрямок малої поверхні (паралелограм), навколо якої був зроблений паралельний перенос,
- інша пара позначає компоненту малого повороту, отриманого при цьому перенесення.
Таким чином Ріманова кривизна навколо кожної точки 4-мірного простору, в приблизною декартовій системі координат навколо цієї точки, описується симетричною матрицею 6 × 6, де кожен рядок і кожен стовпчик відповідають парі координат.
Особливим випадком кривих геометричних просторів є простір з постійною кривизною. яке еквівалентно визначається як
- Узагальнення сферичної геометрії на будь-яку розмірність і будь-який знак кривизни
- Якщо припустити, що будь-яка зовні плоска мала поверхня всередині неї має ту ж гауссова кривизну.
- Якщо різноманіття є ріманово (тобто чистий простір, а не простору-часу: кожне дотичне простір є евклідовим): матриця ріманово кривизни в локальній приблизною декартовій системі координат кожної малої області, є одиничною матрицею помноженої на коефіцієнт.
Чому розмірність 20, а не 21?
Простір симетричних матриць розміру 6 × 6 має розмірність 6 × 7/2 = 21.
Але тензор ріманово кривизни не може приймати в даній ситуації будь-яке значення, так як він має одне співвідношення, яке скорочує розмірність з 21 до 20.
Це відношення називається "повною антисиметричною" частиною цього тензора, і визначається як сума компонент позначених ((x, y), (z, t)), ((y, z), (x, t)) і ((z, x ), (y, t)).
Причину цього, разом з симетрією при зміні обох пар, можна пояснити способом того, як вважається кривизна виходячи з метричної структури простору.
Метрична структура це поле, яке в кожній точці задає локальну геометричну структуру (локально евклідова або структуру Маньківського, в добавок до простої локальної афинной структурі, яка задана гладкістю простору). Значення цього поля в кожній точці є симетричною білінійної формою з дотичними векторами в цій точці (інтуїтивно, вектори швидкості для частинок які проходять), які визначають локальне твір між ними.
У заданій системі координат (або що еквівалентно, в карті розглянутого простору в плоскому просторі - можна зробити відповідність в першому наближення навколо точки, таким чином перші похідні в метриці в цій точці. Через досить технічної щоб пояснювати), кривизна обчислюється з других похідних метрики .
Симетрія метрики, разом з симетрією других похідних в системі координат, природно змінює результат таких виразів, які просто "неможливо провести будь-яку асиметричність" через симетричних входжень. Деталі цього аргументу вимагають розуміння тензорного обчислення.