Ми прекрасно знаємо, що математика має таку властивість, що результат обчислень завжди один і той же незалежно від того, скільки разів ці самі обчислення проводяться. Зараз я не розглядаю ту різницю в обчисленнях, яка виникає у зв'язку з тим, що сам процес обчислень має на увазі ту чи іншу похибку. Я говорю про те, що 2 + 2 = 4. Завжди. І ми вважаємо це розумним і природним. Здається божевільною сама ідея про те, що я міг би створити таку математику, де додавання 2 + 2 кожен раз дає різний результат, або таку, де результат складання 2 + 2 пробігає якийсь ряд значень.
Але чому така ідея здається божевільною?
Перший аргумент, який зводиться до прикладних програм, ми відметемо відразу. Він полягає в тому, що якщо 2 + 2 кожен раз буде давати різний результат, то ми не зможемо використовувати таку математику в наших прикладних повсякденних завданнях - як економічних, так і технічних і всіх інших. Тут треба зрозуміти, що математика хоч історично і бере свій початок саме як інструмент для вирішення прикладних завдань, але давним-давно вже звільнилася від цих утилітарних кайданів і зробила крок дуже далеко вперед. Сучасна так звана чиста математика, по суті, до прикладних задач вже не має взагалі ніякого відношення. Однак досить цікаво те, що безліч таких абстрактних математичних систем абсолютно несподівано виявилися цілком собі корисними при вирішенні практичних завдань і при побудові теорій реального фізичного світу. Можна навести пару загальновідомих прикладів. Наприклад - це комплексне число. Зовсім адже абсурдна річ: число, яке, будучи зведено в квадрат, дає негативну величину. Це суперечить усім попереднім визначенням, це несумісні з нашим здоровим глуздом. Треба сказати, що навіть саме по собі негативне число вже суперечить здоровому глузду, тому що мінус одне яблуко існувати не може. Але ні без комплексних, ні без негативних чисел сучасна математика, а також фізика і техніка обійтися вже не в змозі. Другий приклад - нескінченність безлічі паралельних прямих, які можуть бути проведені через одні й ті ж дві точки. Лобачевського, який придумав таку математику, буквально зацькували і зжили зі світу. А виявилося, що сучасна теорія простору-часу описує наш світ саме таким, в якому тільки ця геометрія і працює. Абсолютно абстрактна галузь теорії груп несподівано виявилася дуже навіть предметної, і сучасна теорія елементарних частинок без неї існувати не може.
Це все загальновідомо.
І все ж є такі догми, які здаються настільки непохитними, що думка навіть не йде в напрямку подолання і цих обмежень, і зазначена на початку статті ідея належить саме до тих, які будь-яка людина відкине і вважатиме безглуздим навіть думати про це.
Але все ж я пропоную поставити питання: чи може існувати така математика, в якій результат будь-яких операцій, включаючи найпростішу 2 + 2, що не буде одним і тим же при повторенні обчислень?
Перше, що хочеться сказати - так, таке напевно можливо, якщо ми визначимо ту чи іншу правило, згідно з яким різні результати будуть виникати.
Але це не та відповідь, який цікавий, оскільки завдання правила фактично повертає нас в русло більш-менш звичної математики. А чи може бути така математика, в якій немає і бути не може такого правила? І знову-таки, я не маю на увазі таку математику, в якій правило відсутня в силу самої імовірнісний процесу, який і описується цією математикою.
Ну наприклад, визначимо знак «+», не впускати кубика, а число «2» - як цифра, якої киданий кубик лежить на долоні. Тоді операція 2 + 2 буде означати, що ми кладемо два кубика двійками на долоню і кидаємо їх. Результат такої операції буде абсолютно випадковим, але ми розуміємо, що саме фізична специфіка цього процесу призводить до цієї невизначеності. Тобто ця властивість не є внутрішня властивість самої математичної реальності.
Я пропоную розглянути таку математичну операцію, яку ми будемо звично називати «складанням», і яка саме аксіоматично буде давати різні результати, причому не існує ніякого правила, за яким цей результат може виникати. Може бути, така математика просто не зможе існувати? Може і так. І тоді можна задуматися - а чи існує таке правило, ввівши яке ми зможемо надати такий математики сенс?
А що це взагалі таке - «сенс математики» поза утилітарного аспекту, який нам зараз нецікавий? Можливо, ми не зможемо ніяким чином застосувати таку математику, ну і що?
По-перше, ми ніколи не можемо бути впевнені в тому, що такий спосіб ніколи не знайдеться, адже нас попереду чекає осягнення зовсім божевільного світу теорії струн, де десятки вимірювань, та ще й згорнутих, де простір постає перед нами у вигляді різноманіття Калабі- Яу (теж, до речі, колись колишніми абсолютно абстрактної областю математики), і хто знає - які ще божевільні математичні конструкції знайдуть своє застосування.
А по-друге, математика насправді зовсім не потребує того, щоб бути предметною. Вона самодостатня. Вона має право на існування лише тому, що існує.
Отже, припустимо, що результат складання 2 + 5 може приймати будь-яке значення з ряду цілих чисел (від мінус до плюс нескінченності). Чи можемо ми тепер накласти на цей хаотичний бульйон якесь правило, яке нехай ще й не зробить з усього цього математику (хоча б тому, що ми поки що не знаємо насправді - що в точності під цим мати на увазі), але додасть цьому бульйону якісь певні характеристики?
Для початку візьмемо щось дуже просте. Наприклад, розглянемо тільки позитивні числа і встановимо для них, що результат кожного наступного складання заданої пари чисел (наприклад 2 + 5) повинен бути більше попереднього. Таким чином ми отримуємо досить дивну математику ... хоча ні, ми поки не можемо назвати ось це «математикою», і я навіть не буду зараз наводити яке-небудь визначення математики і занурюватися в визначення того, що таке структура, що таке ставлення і т. д. Бог з ними. Ми проводимо поки що якусь гру з числами, так скажемо. Нехай те, що виходить в результаті створення тих чи інших правил, буде називатися «математичної тканиною».
В нашій математичної тканини кожне наступне складання двох однакових чисел буде давати результат, який ніколи не був раніше. І цей результат ніколи більше не повториться, і він завжди буде більше попереднього.
А тепер візьмемо паузу і задумаємося над таким питанням - чи можемо ми придумати якусь таку фізичну реальність, якої могла б в принципі відповідати така математична тканину? Може бути і можемо. Наприклад, фізики давно замислюються над тим - чи є справді константами світові константи? І припустимо, що якимось чином ми змогли дізнатися, що швидкість світла не є постійною величиною - ми тільки думаємо, що вона постійна, але на якихось грандіозних масштабах простору або часу вона змінюється. Або вона змінюється в міру наближення до чорних дірок. І припустимо, що вона росте в міру наближення до горизонту подій чорної діри. І чи не вийде так, що замість того, щоб здійснювати подвиги і створювати багатоповерхові формули на базі старої математики, нам треба буде всього лише взяти ось цю нашу математичну тканину, накинути на неї ще ті чи інші правила і використовувати в готовому вигляді то, що математики нафантазували? Може і вийде. У всякому разі, якщо такі ситуації вже були раніше (див. Приклади з простором Лобачевського або Рімана), то чому б їм не траплятися і в майбутньому?
А якщо прикладного застосування не знайдеться, то для математика це насправді критичного значення не має. Для нього важливий сам процес формування математичної тканини, сам процес спроб створення з неї чогось більшого, а також сам процес спроби виходу за межі відомих правил. І для нього важливо те задоволення, яке він при цьому отримує, та насиченість життя, яка в ньому виникає тоді, коли він зайнятий улюбленою справою.
І ось це і є «займатися математикою». Нас всіх вчать, що «займатися математикою» - це вирішувати рівняння, множити і ділити, вважати інтеграли і, в загальному, здійснювати різні обчислення. Звести математику до обчислень - приблизно те ж саме, що звести секс до продовження роду відповідно до якимись евгеническими правилами, тобто - в припадку утилітаризму вихолостити, умертвити, обмежити доступ і механізувати щось живе. Не дивно, що до математики у нескінченно переважної більшості людей складається відношення як до чогось нескінченно нудного, а то й огидному.
Те, чим ти займалася, читаючи цю статтю, може бути і не назвуть «математикою». Може бути скажуть, що це навіть і не має відношення до математики, але мені це не має значення. Важливим є те, що, слідуючи за моєю думкою, ти відірвалася від абсолютно мертвотного уявлення про математику як про прийоми обчислення. Ти відчувала моментами здивування, а іноді - сміх. Місцями замислювалася, намагаючись вмістити в свою голову те, що ніяким чином не поєднується з вже наявними уявленнями, а часом тобі в голову приходили якісь незвичайні ідеї, від яких ти відкидалася на спинку стільця і вперівалась поглядом в простір перед собою, лякаючи свою кішку .
І це і є стан математичного творчості, і вловити дух цього стану - можливо і є найголовніше, чого варто вчити дітей на уроках математики в школі, тому що якщо вони вберуть в себе цей революційний дух сміливого польоту думки, то збагатяться як особистості, і якщо раптом їм коли-небудь стане цікава математика або фізика або генетика або будь-яка інша наука, то вони не будуть вивчати її як мертву схему, а будуть запліднювати її божевільними ідеями, попутно відчуваючи насолоду від самого цього процесу.
Вбити в дітях інтерес до наук досить складно, але зазвичай школа успішно справляється з цим за десять років. Народити ж в дітях інтерес до наук - насправді дуже просто. Часом буває досить однієї книги, однієї статті, одного захопленого наукою людини, що знаходиться поруч. На жаль, найчастіше поряд з дитиною не виявляється ні того, ні іншого, ні третього.