Теорія систем автоматичного управління
При розрахунку і проектуванні системи автоматичного управління іноді буває необхідним дослідити вплив її різних параметрів па стійкість. Для вирішення цього завдання служить побудова областей стійкості, т. Е. Визначення
таких областей значень параметрів, при яких система виявляється стійкою.
Розрізняють побудова областей стійкості в площині одного параметра і в
площині двох параметрів. Нижче буде розглядатися тільки побудова області стійкості в площині двох параметрів. Для побудови таких областей ш площині двох параметрів A і B необхідно нанести лінії, відповідні межі стійкості. Тоді область, обмежена цими лініями, буде являти собою область стійкості. Для того щоб остаточно переконатися в цьому необхідно для будь-якої точки, що лежить всередині отриманої області, але будь-л ІХС критерієм перевірити стійкість. Якщо стійкість для цієї точки буде мати місце, то вона буде виконуватися і для всіх інших точок, що лежать в цій області.
Для отримання умови, відповідного кордоні стійкості другого типі (коливальної), можна використовувати різні критерії стійкості.
Для рівнянь високого порядку умови, відповідні коливальні кордоні стійкості, можуть бути отримані в такий спосіб.
Розглянемо окремо ліву частину характеристичного рівняння (6.9), яка являє собою характеристичний поліном замкнутої системи:
- кутова частота коливань, відповідна чисто уявному кореню. Тоді лузрактерістіческій комплекс
розпадається на два рівняння:
Два останніх вислови є параметричні рівняння кордону стійкості при дотриманні додатковою умовою заперечності дійсних частин всіх інших коренів, крім чисто уявних. Повна ж сукупність всіх кривих па площині параметрів, що розбиває всю площину на області з певним розподілом коренів, називається D-разбіеііем площині параметрів. Зазвичай практичне значення має лише частина кривих D-разбіеіія, відповідна кордоні стійкості.
Для спрощення виділення кордонів області стійкості з усього комплексу кривих D-розбиття на площині двох параметрів вводиться штрихування цих кривих, вироблена за правилом, яке буде приведено без докази. Перемети уздовж кривої в бік збільшення з, треба Штрихована її з лівого боку, якщо буде позитивним визначник, складений з приватних похідних (6.17):
Якщо ж визначник від'ємний, то криву треба Штрихована справа. При дотриманні цього правила штрихування буде спрямована всередину області стійкості, якщо параметр Л відкладений але осі абсцис вправо, а параметр В - по осі ординат вгору.
В якості ілюстрації розглянемо систему, що стежить, схема якої зображена на рис. 6.4. Для цієї системи було отримано характеристичне рівняння
Рівняння, що визначають кордон стійкості,
Вирішуючи їх спільно щодо параметрів К і Т, отримаємо
необхідно Штрихована область, що лежить праворуч від кривої.
Це можна показати і на основі використання двох, що залишилися умов стійкості.
Ця умова виконується на осі абсцис.
можна відразу відповісти, стійка або нестійка система, залежно від того, потрапляє або не влучає точка, яка визначається цими значеннями параметрів, в область стійкості.
Для системи кутовий стабілізації, структурна схема якої зображена па рис. 6.5, область стійкості представлена на рис. 6.7.