Лабораторна робота № 5
Тема: побудова і перетворення 3D графіків і інших об'ємних об'єктів.
Мета: навчиться будувати графіки функцій і різних об'єктів в просторі, заданих неявно, в параметричної формі, в полярних і сферичних координатах координатах.
Завдання 1. Побудова графіків функції в просторі.
Для побудови графіків функцій z = f (x; y) використовується функція Plot3D. Вона задається в наступних формах:
Plot3D [f,<>,<>] - будує графік функції z = f (x; y) при х змінюється в ін-інтервалі від до;
а) Побудуємо графік функції при х, що змінюються від -10 до 10 і у мінливих від -10 до 10.
б) Побудуємо графік функції z = x 2 + y 2 при x, що змінюються від -10 до 10 і y, що змінюються від -10 до 10.
Побудувати графіки функцій:
; ; . z = sin (xy); x 3 + y 2 - z 2 = 0.
Завдання 2. Побудова графіків функції в просторі, заданих параметрично.
Далеко не всі поверхні можна задати рівнянням z = f (x, y)) або таблично. Часто набагато зручніше задавати їх параметрично. Параметрично можна задати також криві в просторі. Параметрично задані в тривимірному просторі двомірні поверхні або одномірні криві можна малювати за допомогою функції ParametricPlot3D.
Виклик ParametricPlot3D [t. yt. it], min. tmax>] повертає просторову криву, параметризрвані змінної, що змінюється від tmin до tmах.
Побудувати на одному графіку:
Завдання 3. Побудова 3Dграфіков в сферичної системі координат.
Застосування даної функції - найпростіший спосіб побудови сфери. Це природно, оскільки система координат сферична. А яка система координат називається сферичною?
Побудувати графіки функції:
а) y = 1 + (Sin (5u) / 5), при v від 0 до π, і при u від 0 до 2π;
б) у = 1 + 2Cos (2u), при u від 0 до π, і при v від 0 до 2π.
Завдання 4. Фігури обертання.
Досить широко поширеними є тривимірні графічні об'єкти, отримані обертанням кривих щодо деякої осі. Наприклад, повертаючи окружність на кут π, можна отримати поверхню кулі. Змінюючи межі зміни кута повороту, можна будувати замкнуті або незамкнуті фігури. Для побудови таких поверхонь (фігур) в Mathematica служить функція: RevolutionPlot3D [fz, min, tmax>. ] І RevolutionPlot3D [x, fy, fz>, min, tmax>. ].
Побудувати графіки функції:
а) z = t 4 - t 2. при t від 0 до 1;
Завдання 5. Різні тривимірні об'єкти
Mathematica має ряд барвистих фігур, оформлених у вигляді прикладів даних (ExampleData). Їх можна використовувати для перевірки роботи графічних функцій. На рис. 5 показано побудова об'ємної фігури з числа таких прикладів за допомогою функції ListSurfacePlot. При цьому використовується тільки опція, що задає число фрагментів фігури. Решта опцій задані за замовчуванням.
Побудувати зображення також як показано на рис. 5, для:
Завдання 6. Важливі поверхні простору (Аналітична геометрія простору).
Для побудови графіків в просторі використовується вже знайома функція. де f - функція від змінних х і у, де. .
Щоб побудувати графік поверхні другого порядку, потрібно спочатку висловити змінну z з канонічного рівняння. Це можна зробити, використовуючи функцію Solve, яка була використана для вирішення рівнянь, вказавши в якості невідомої змінної тільки змінну z. Наприклад, висловимо з рівняння еліпсоїда змінну z:
Це означає, що побудова еліпсоїда зводиться до побудови в одній системі координат двох тривимірних графіків і.
Так як графіки потрібно побудувати в одній системі координат, то скористаємося функцією Show. Крім того, при побудові графіків з метою поліпшення якості графіків використовуємо опцію PlotPoints -> n, яка вказує, скільки точок має брати участь в побудові (n - натуральне число). За допомогою опції Mesh -> False відбувається видалення ліній каркаса поверхні, що сприяє наочності в її зображенні.
Виконайте самостійно кожен з розібраних прикладів. Змініть параметри a, b, c і встановіть як їх збільшення або зменшення впливає на зображення поверхні. При цьому необхідно збільшувати або зменшувати інтервал зміни змінних.
На малюнку 6 показано побудова еліпсоїда заданого рівнянням.
b) Однопорожнинний гіперболоїд.
На малюнку 7 показано побудова, однополостного гіперболоїда, заданого рівнянням.
На малюнку 8 показано побудова двуполостного гіперболоїда, заданого рівнянням.
Побудуйте наступні поверхні другого порядку:
a) Гіперболічний параболоїд (канонічне рівняння:), заданий рівнянням.
b) Еліптичний параболоїд (канонічне рівняння:), заданий рівнянням
c) Еліптичний циліндр (канонічне рівняння:), заданий рівнянням.
d) Гіперболічний циліндр (канонічне рівняння:), заданий рівнянням
e) Параболічний циліндр (канонічне рівняння:), заданий рівнянням
f) Пару пересічних площин (канонічне рівняння:), заданих рівнянням.
g) Пара паралельних площин (канонічне рівняння:
h) Пара співпадаючих площин: канонічне рівняння.
Завдання 7. Зміна ракурсу.
Mathematica дає можливість користувачеві розглядати будь-яку, побудовану їм просторову фігуру в різних положеннях. Для зміни положення в просторі тривимірної фігури використовується опція 3D View Point Selector. Цю опцію можна задати за допомогою панелі інструментів Input. При цьому курсор необхідно поставити після коми і поставленої перед закривається квадратної дужкою.
На малюнку 9 показаний приклад використання цієї опції.
Проілюструємо різні положення гіперболічного параболоїда в просторі. На малюнку 10 він побудований без застосування опції, на малюнку 11 з її застосуванням.
