y1 - ордината першої точки дуги;
t1 - параметр (менший) першої точки дуги;
x2 - абсциса другої точки дуги;
y2 - ордината другої точки дуги;
t2 - параметр (більший) другий точки дуги;
R - радіус виробляє кола;
t - параметрична змінна;
x = R (t-sint) - параметричне рівняння абсциси циклоїди;
y = R (1-cost) - параметричне рівняння ординати циклоїди;
Sцікл - площа арки (або частини арки) циклоїди.
[Ред] Формула
[Math] S_ \ text = R ^ 2 \ left (\ fract_2-2 \ sin t_2 + \ frac \ sin 2t_2 \ right) -R ^ 2 \ left (\ fract_1-2 \ sin t_1 + \ frac \ sin 2t_1 \ right), [/ math] [math] 0 \ le t_1 \ le t_2 \ le 2 \ pi [/ math]- Площа повної (від 0 до 2π) арки циклоїди дорівнює площі трьох виробляють кіл, Sарк.цікл = 3πR 2.
[Ред] Висновок формули
[Math] S_ \ text = \ int \ limits_ ^ R (1 \ cos t) [R (t - \ sin t)] _ t ^ dt = \ int \ limits_ ^ R ^ 2 (1 \ cos t) ^ 2dt = [/ math] [math] = R ^ 2 \ int \ limits _ ^ (1-2 \ cos t + \ cos ^ 2t) dt = R ^ 2 \ int \ limits _ ^ \ left (1-2 \ cos t + \ frac \ right) dt = [/ math] [math] = R ^ 2 \ int \ limits _ ^ \ left (\ frac-2 \ cos t + \ frac \ cos 2t \ right) dt = \ left.R ^ 2 \ left (\ frac-2 \ sin t + \ frac \ sin 2t \ right) \ right | _ ^ = [/ math] [math] = R ^ 2 \ left (\ fract_2-2 \ sin t_2 + \ frac \ sin 2t_2 \ right) -R ^ 2 \ left (\ fract_1-2 \ sin t_1 + \ frac \ sin 2t_1 \ right) [/ math]- Для виведення використовується формула «площа плоскої фігури» в параметричної формі.