.УГАХА) і буде циклоїдою.
Встановимо ще одна важлива властивість циклоїди і спробуємо саме його покласти в основу вивчення цієї кривої.
Розглянемо трикутник МТТ1 (рис. 21), утворений вертикальним діаметром виробляє кола, дотичній до циклоїди і нормаллю до неї.
Зв'язок між висотою і нахилом дотичної
Кут МТ1Т. як вписаний в коло, дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту ж дугу, т. е. дорівнює. Проведемо МК || АВ і ME ┴ АВ. Відрізок МО буде грати в подальшому значну роль, тому дамо йому ім'я і позначення: будемо називати його висотою точки М циклоїди і позначати буквою h. Отже, висота точки М циклоїди яку її від направляючої прямий.
Звернемо увагу на кут КМТ. Він дорівнює куту МТ1Т. З трикутника ТМТ1 отримуємо:
а з трикутника ТКМ:
Зіставляючи ці результати і помічаючи, що КТ = h, отримаємо остаточно:
Ми висловили висоту точки М через кут між дотичній в точці М і вертикаллю (горизонталлю ми як і раніше вважаємо напрямок прямої АВ). Тепер висловимо синус цього кута через висоту. Отримаємо, очевидно:
де через k позначена постійна для даної циклоїди величина Отриманий результат викладемо в теоремі.
Теорема 4. Синус кута між дотичною до циклоїді в точці М і вертикаллю пропорційний кореню квадратному з висоти точки М.
Цією властивістю володіє, очевидно, будь-яка циклоїда. Виникає питання: якою мірою це властивість характеризує саме циклоиду: чи буде будь-яка крива, що володіє цією властивістю, неодмінно циклоїдою? Можна довести, що це буде саме так, що сповідує й наступна (зворотна) теорема:
Теорема 5. Якщо дані пряма АВ і точка М, то єдиною кривої, що задовольняє умовам теореми 4 і проходить через точку М, буде циклоїда.
При цьому радіус виробляє кола цієї циклоїди пов'язаний з коефіцієнтом k, про який йдеться в теоремі 4, наступним співвідношенням:
(Зрозуміло, відстань точки М від АВ має бути менше, ніж 2а.)
Суворе доказ цієї теореми засобами елементарної математики дуже громіздко, і ми його наводити тут не будемо.
Якщо в умові теореми 5 Не домовитися про те, що шукана крива проходить через наперед вказану точку М, то вийде не одна, а безліч циклоїд, які виходять один з одного паралельним зрушенням у напрямку прямої АВ (одна з них проходить через точку М, інша через М1 третя через М2 і т. д.). Це безліч, або, як його називають, сімейство циклоїд зображено на рис. 22.
5.Параметріческое рівняння циклоїди і рівняння в декартових координатах
Припустимо, що у нас дана циклоїда, утворена окружністю радіуса а з центром в точці А.
Якщо вибрати в якості параметра, що визначає положення точки, кут t = ∟NDM на який встиг повернутися радіус, що мав на початку кочення вертикально е положення АТ, то координати х і у точки М виразяться наступним чином:
х = OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,
y = FM = NG = ND GD = a a cos t
Отже параметричні рівняння циклоїди мають вигляд:
При зміні t від -∞ до + ∞ вийде крива, що складається з незліченної безлічі таких гілок, яка зображена на даному малюнку.
Так само, крім параметричного рівняння циклоїди, існує і її рівняння в декартових координатах:
де r радіус кола, що утворює циклоиду.
6. Задачі на знаходження частин циклоїди і фігур, утворених циклоїдою
Завдання №1. Знайти площу фігури, обмеженою однієї аркою циклоїди, рівняння якої задано параметрично
Рішення. Для вирішення даного завдання, скористаємося відомими нам фактами з теорії інтегралів, а саме:
Площа криволінійного сектора.
Розглянемо деяку функцію r = r (φ), визначену на [α, β].
Будемо вважати, що r і φ полярні координати точки. тоді будь-якому
φ0 ∈ [α, β] відповідає r0 = r (φ0) і, отже, точка M0 (φ0, r0), де φ0,
r0 полярні координати точки. Якщо φ буде змінюватися, пробігаючи весь [α, β], то змінна точка M опише деяку криву AB, задану
рівнянням r = r (φ).
Визначення 7.4. Криволінійним сектором називається фігура, обмежена двома променями φ = α, φ = β і кривої AB, заданої в полярних
координатах рівнянням r = r (φ), α ≤ φ ≤ β.
Теорема. Якщо функція r (φ)> 0 і неперервна на [α, β], то площа
криволинейного сектора обчислюється за формулою:
Ця теорема була доведена раніше в темі певного інтеграла.
Виходячи з наведеної вище теореми, наша задача про знаходження площі фігури, обмеженої однією аркою циклоїди, рівняння якої задано параметричні x = a (t sin t). y = a (1 cos t). і віссю Ох, зводиться до наступного рішення.
Рішення. З рівняння кривої dx = a (1-cos t) dt. Перша арка циклоїди відповідає зміні параметра t від 0 до 2π. отже,
Завдання №2. Знайти довжину однієї арки циклоїди
Так само в інтегральному численні вивчалася наступна теорема й наслідок з неї.
Теорема. Якщо крива AB задана рівнянням y = f (x), де f (x) і f (x) неперервні на [a, b], то AB є спрямляются