опускання вантажу на пружину
Як вирішувати? Через "дія дорівнює протидії" і "сила пропорційна прискоренню через масу"? Або 3 закону Ньютона тут ні до чого?
А дія - звичайно, так, дорівнює протидії. (Сила пружності, з якої пружина діє на вантаж, дорівнює силі тиску вантажу на пружину.)
Зрозумів. Кінетична енергія вантажу E1 = m v v / 2. де v - швидкість вантажу, m - маса.
Енергія деформації пружини E2 = k x x / 2, де x - величина деформації пружини, k - жорсткість.
Про "П.Е. вантажу в полі тяжіння Землі" можна детальніше? Що вважати-то?
Правильно, що:
E1 = E2 m v v / 2 = k x x / 2?
Щоб Ви знали, закон збереження енергії - це зовсім не "закон рівності кінетичної енергії і потенційної". За відсутності втрат механічна енергія системи зберігається. (З чого вона складається?)
Коли вантаж опускається, сила тяжіння сонаправлени з переміщенням, значить, здійснює позитивну роботу. Потенційна енергія вантажу в полі тяжіння зменшується на величину досконалої роботи.
При стисненні пружини сила пружності спрямована протилежна переміщенню вантажу, тому її робота негативна. Потенційна енергія пружної деформації, стало бути, не зменшується, а збільшується.
Чим нижче опускається вантаж, тим менше його швидкість. (Кінетична енергія убуває, потенційна збільшується.)
А, ще роботу сили тяжіння забув.
Сила тяжіння F = mg, переміщення від дотику до зупинки - і є деформація пружини x.
Разом робота сили тяжіння сила на шлях A = mgx
Правильний баланс енергій:
m v v / 2 + mgx = kxx / 2
Так?
По-перше, з відповіддю не співпало, вийшло вдвічі більше ніж треба.
По-друге, дивна якась формула вийшла:
навіть якщо взяти v = 0, то навантаження все-одно вдвічі більше ваги: F = 2mg
Як таке може бути? Якщо вантаж опускати дуже повільно, то ніякого удару не буде, і навантаження повинна бути дорівнює вазі.
Де була помилка?
1) Навіть якщо опускати вантаж на пружину без початкової швидкості, він не зупиниться в положенні, де kx = mg, а проскочить його за інерцією. (І буде коливатися на пружині.)
Якщо ми хочемо, щоб вантаж зупинився в положенні рівноваги - його доведеться притримувати аж до положення рівноваги. Але тоді завдання стає зовсім нецікавою. - \
Про невідповідність відповіді з задачника нашому з вами рішення - нічого не можу сказати. Треба питати укладачів задачника. ;-)
"1) Навіть якщо опускати вантаж на пружину без початкової швидкості, він не зупиниться в положенні, де kx = mg, а проскочить його за інерцією. (І буде коливатися на пружині.)"
- Я так розумію, це сталося б, якби ми вантаж не опускали, а скидали б на пружину з початковою швидкістю v. Але у нас в умови він опускається краном. Проскочить становище рівноваги за інерцією він може, але цей проскок буде залежати від швидкості опускання, і при нульовій швидкості цього проскока не буде. А як тоді розрахувати цей проскок при ненульовий швидкості?
"Розумію, що написати" вага "в чотири рази швидше, ніж" сила тяжіння ". ;-) Але давайте все-таки не плутати ці поняття"
- Добре. Але і тим не менше, при дуже малій швидкості опускання навантаження на підставу повинна прагнути до сили тяжіння вантажу, а не до двом силам тяжкості.
"Якщо ми хочемо, щоб вантаж зупинився в положенні рівноваги - його доведеться притримувати аж до положення рівноваги. Але тоді завдання стає зовсім нецікавою. - \"
- У нас виходить завдання зовсім ускладнилася:
вантаж не скидають на пружину, а опускають краном на тросі. Але швидкість опускання при цьому не нульова, тому положення рівноваги вантаж все-одно проскочить. Але зовсім не на стільки, як скиданні вантажу.
Питання: як рахувати таку хитру ситуацію.
Шановний Захід, пробували Ви прийняти за рівень відліку нижнє положення вантажу (тобто ту висоту, на якій виявиться вантаж після "проскакування")?
P.S. Чи вмієте ж ви "спантеличити";)
Якщо кран продовжує "притримувати" вантаж (до якого, до речі, моменту ?!), то ніякого збереження енергії не буде: не забудемо про роботу, яку здійснює над вантажем сила натягу стропи.
". Не забудемо про роботу, яку здійснює над вантажем сила натягу стропи"
- В даному випадку робота здійснюється проти сили. Вона дорівнює добутку сили на шлях. Але сила натягу стропи непостійна, а падаюча. І чому дорівнює шлях, на якому вважати роботу?
Я вже натякав, що сила натягу стропи (як функція будь-координат, хоч часу) умовою завдання явно не задана. так що якщо Ви хочете отримати вираз для імпульсу (або роботи) цієї сили, Вам спершу доведеться прийняти якусь гіпотезу про залежність T (x) або T (t) - що я метафорично і назвав "запитати кранівника".
Особисто мені здається правдоподібною наступна гіпотеза: кран витруює трос з постійною швидкістю. При цьому на вантаж до торкання пружини діють дві, очевидно, рівні сили: тяжкості і натягу стропи. Але як тільки вантаж стосується пружини, на нього починає додатково діяти сила пружності, і його рух стає уповільненим - а так як, за припущенням, швидкість верхньої частини троса і раніше дорівнює v, то трос перестає бути натягнутим. (Вуаля.)
"Особисто мені здається правдоподібною наступна гіпотеза: кран витруює трос з постійною швидкістю"
- Мабуть саме так. Двигун з постійними оборотами крутить барабан через редуктор, незалежно від навантаження, швидкість опускання троса постійна.
"При цьому на вантаж до торкання пружини діють дві, очевидно, рівні сили: тяжкості і натягу стропи"
- Причому, так як вантаж рухається вниз з постійною швидкістю (і значить без прискорення), то по 2м закону Ньютона, сума цих сил дорівнює нулю, тобто сила натягу троса до торкання пружини дорівнює mg і спрямована вгору.
"Але як тільки вантаж стосується пружини, на нього починає додатково діяти сила пружності, і його рух стає уповільненим - а так як, за припущенням, швидкість верхньої частини троса і раніше дорівнює v, то трос перестає бути натягнутим. (Вуаля.)"
Дивна якась у Вас логіка.
"Якщо одна сила зменшиться, то інша обов'язково збільшиться, ТОМУ ЩО їх сума обов'язково повинна залишитися незмінною." Вибачте, але з якого дива ?!
"Дивна якась у Вас логіка.
"Якщо одна сила зменшиться, то інша обов'язково збільшиться, ТОМУ ЩО їх сума обов'язково повинна залишитися незмінною." Вибачте, але з якого дива ?! "
- Ні, трошки не так. Правильніше ось так:
Сила натягу троса може змінюватися в широких межах, але підпорядковується наступним правилам:
1) вона не буває негативною (трос може натягатися, але не може стискуватися - він просто зігнеться, і штовхати вантаж як шток не зможе)
2) у не натягнутого троса вона дорівнює нулю
Звідси наслідок:
сила натягу троса є, тільки якщо вантаж рухається з такою ж швидкістю v, з якою кран опускає трос. Якщо вантаж опускається повільніше, ніж кран розмотує трос, то трос не натягнутий, і його натяг дорівнює нулю. (Трос вважаємо нерозтяжна).
На вантаж у нас діють три сили (рисунок в # 24):
сила натягу троса (спрямована вгору, її шукаємо), сила тяжіння (спрямована вниз, завжди дорівнює mg), сила пружності пружини (спрямована вгору, дорівнює F = kx).
1. Якби рівнодіюча (сума цих трьох сил) була спрямована вниз, то вантаж рухався б вниз з прискоренням. Але вантаж не може рухатися швидше за швидкість опускання крана v, інакше трос розтягнеться або порветься, тому даний випадок не реалізується.
2. Якщо рівнодіюча спрямована вгору, то вантаж рухається з уповільненням. У підсумку, він відстає від швидкості опускання крана v, трос перестає бути натягнутий, і сила натягу троса дорівнює нулю. У підсумку, на вантаж діють тільки дві сили: сила тяжіння mg, і сила пружності пружини F = kx. Що б рівнодіюча була спрямована вгору, сила пружності повинна бути більше сили тяжіння, і саме в цьому випадку цей варіант реалізується.
3. У всіх інших випадках (коли сила пружності пружини менше сили тяжіння вантажу), сила натягу троса така, що б рівнодіюча дорівнювала нулю, прискорення не було, швидкість руху вантажу залишалася постійною і рівною v, трос залишався натягнутий, і забезпечував цю саму силу натягу цього самого троса.
>> 3. У всіх інших випадках (коли сила пружності пружини менше сили тяжіння вантажу), сила натягу троса така, що б рівнодіюча дорівнювала нулю, прискорення не було, швидкість руху вантажу залишалася постійною і рівною v
Зауважте, я не кажу, що Ваше твердження помилкове. Воно просто я вважаю недостатньо обгрунтованим.
"Вам це здається настільки ясним, що Ви весь час ухиляєтеся від обгрунтування. -Ь"
- Взагалі-то я не ухилявся, а двічі намагався це пояснити, але схоже робив це незрозуміло. Спробую втретє.
"Ось я все намагаюся зрозуміти, звідки цей постулат - що сила натягу стропи рівно така, щоб забезпечити рівномірний рух вантажу"
- Припустимо ситуацію: на вантаж в даний момент часу діє: сила тяжіння mg, сила пружності пружини менше сили тяжіння, нехай mg / 2. і сила натягу троса НЕ рівна mg / 2.
1. Нехай сила натягу троса більше mg / 2 і дорівнює наприклад mg. Тоді рівнодіюча цих трьох сил буде mg / 2 і спрямована вгору. Під дією цієї сили вантаж придбає прискорення вгору (уповільнення швидкості). Вантаж відстане від троса, трос провіснет, і сила натягу троса з mg перетвориться в нуль. Дане рішення хитке і саме себе вбило.
2. Нехай сила натягу троса менше mg / 2 і дорівнює mg / 3. Тоді рівнодіюча цих трьох сил буде mg / 6 і спрямована вниз. Під дією цієї сили вантаж придбає прискорення вниз (збільшення швидкості). Вантаж намагається обігнати трос, трос нерастяжім, і сила натягу троса з mg / 3 перетвориться в нескінченність. Теж не усточивее, і теж не реалізується.
У підсумку, сила натягу троса саморегулюється (в доступних межах) так, що б трос весь час залишався натягнутий, тобто швидкість вантажу збігалася зі швидкістю троса.
Це так само як з силою реакції опори, що діє на книгу лежить на нерухомому столі. Сила реакції опори повинна бути дорівнює силі тяжіння, інакше книга або злетить вгору, або провалиться крізь стіл вниз. Єдине стійке рішення - сила реакції опори дорівнює силі тяжіння. Тільки тоді книга буде продовжувати лежати на столі.
Дорогий друже, уникайте щось доводити за допомогою числових прикладів. - (Тому що якщо при взятих навмання числових значеннях вийде безглуздий відповідь - це може означати не те, що обговорювана ситуація неможлива в принципі, а просто, що самі обрані значення некоректні.
Але тим не менше хочу Вас привітати - Ви мене переконали в фізичності відповідати вашому холодильнику. В-)
Якщо ми впевнені, що вантаж буде рухатися рівномірно аж до моменту, коли сила пружності пружини врівноважить силу тяжіння вантажу - давайте цей момент і виберемо в якості початкового, записуючи закон збереження енергії. Тільки тепер в рівнянні, на відміну від # 5, і в лівій, і в правій частині потенційна енергія буде відмінна від нуля.
"Зауважте, я не кажу, що Ваше твердження помилкове. Воно просто я вважаю недостатньо обгрунтованим."
- А не могли б ви своє бачення процесу описати? Який характер руху вантажу після зіткнення з пружиною, і яка сила натягу троса?
Господа!
Тут все просто.
Пружинний маятник із заданими параметрами і заданої енергією коливань.
До речі, відповідь істотно залежить від коефіцієнта жорсткості троса, на якому висить тягар і який не заданий.
"Тут все просто.
Пружинний маятник із заданими параметрами і заданої енергією коливань. "
- Маса і пружність задані. А енергію коливань звідки взяти?
"До речі, відповідь істотно залежить від коефіцієнта жорсткості троса, на якому висить тягар і який не заданий."
- Якщо жорсткість троса і жорсткість самого вантажу не задані, то напевно їх можна вважати багато більш жорсткими, ніж пружина.
"Якщо ми впевнені, що вантаж буде рухатися рівномірно аж до моменту, коли сила пружності пружини врівноважить силу тяжіння вантажу - давайте цей момент і виберемо в якості початкового, записуючи закон збереження енергії!"
- Давайте. У цей момент швидкість все ще v, але пружина вже частково стиснута, і продовжує стискатися. Вантаж опускається уповільнено, сила тяжіння продовжує здійснювати роботу. Нехай він опуститься від цієї точки ще на відстань x.
Роботу здійснює кінетична енергія m v v / 2. і потенційна енергія вантажу mgx, проти пружини. Трос починаючи з цієї точки провисає, і в скоєнні роботи вже не бере. Енергія пружини збільшується. Але пружина вже була частково стиснута і володіла енергією.
Потрібно їх розрахувати.
Кінетична енергія m v v / 2 і потенційна енергія mgx переходять в різницю енергій пружності k (x + y) (x + y) / 2 - kyy / 2
m v v / 2 + mgx = k (x + y) (x + y) / 2 - kyy / 2
де y = mg / k. підставляємо y
m v v / 2 + mgx = k (x + mg / k) (x + mg / k) / 2 - kmmgg
розкриваємо дужки, ох яке рівняння довге буде.