Піфагор - це грецький вчений, релігійний та політичний діяч. Вважається, що він народився на острові Самос (звідки і пішла прізвисько Піфагор Самоський). Піфагор походив із аристократичної сім'ї (вважається, що його батько був ювеліром - різьбярем дорогоцінних каменів) і в дитинстві отримав чудову на той час освіту. Однак цих знань йому здалося недостатньо, і він відправився у важкий і небезпечний подорож по країнах східної частини Середземного моря, Єгипту та Вавилону, щоб осягнути премудрості інших народів.
Зберігся переказ, що під час перебування в Єгипті жерці, охоронці наукових і містичних знань, присвятили його в свої священні науки.
Наукові знання вважалися в Єгипті великою таємницею, секретом, яким володіли тільки жерці. З знову присвячених брали свого роду «підписку про нерозголошення», неофіти зобов'язувалися не передавати знання іншим. За легендою, Піфагор клятву порушив, створивши надалі свою школу і своє релігійне вчення.
У Вавилоні (туди він потрапив, нібито взятих в полон персами) протягом семи років він осягав кабалістичні науки халдейських магів, містичну науку про числа, закони музики.
При цьому успіхи були б настільки важливими, що слава про нього прокотилася не тільки по всьому Вавилону, але досягла і рідного острова Самос. Коли Піфагор повернувся на свій острів, його прийняли як найбільшого вченого.
Боротьба дрібних власників і ремісників проти родової знаті, що призвело до становлення і зміцнення одноосібної влади. Таку владу називали тиранією. На острові Самос встановилася тиранії Полікрата.
Піфагор, що належить до родової аристократії, що не влаштувався в Самос, а в знак протесту покинув острів і поїхав в один з квітучих міст південної Італії, Кротон. Він вважав, що вільна людина повинна підкорятися деспотизму.
В Кротоні Піфагор заснував школу, яка більше схожа на таємне аристократичне суспільство. Він «відразу привернув увагу як людина, багато мандрівний, досвідчений і дивно обдарований долею і природою: на вигляд він був величний і шляхетний, а краса і чарівність були у нього в голосі, і в поводженні, і в усьому».
Одним з жорстких правил піфагорійців була умова збереження таємниці вчення. У цей Піфагор, очевидно, ішов за прикладом єгипетських жерців.
Члени школи Піфагора ділилися на учнів і слухачів. Слухачам не дозволялось бачити свого вчителя, тому кімната, в якій проходили навчання, була розділена легкої перегородкою на дві частини. В одній з них займався Піфагор з учнями, а в іншій перебували слухачі.
Численні учні та послідовники Піфагора, яких називали піфагорійцями, свято шанували свого вчителя. Тому в тому спадщині, яку залишили піфагорійці, не можна відокремити відкриття самого Піфагора і від ідей його учнів і послідовників. Всі свої ідеї вони приписували своєму «науковому керівнику».
Члени цієї організації не тільки займалися наукою, а й прагнули вплинути на політичне життя міста, об'єднавши навколо себе найбільш видних представників міської влади. Піфагорійці - це не тільки наукова школа, а й якийсь таємний чернечий орден.
Що відрізняло піфагорійців від всіх інших сект - це спосіб, за допомогою якого вони вважали можливим очищення душі і з'єднання з божеством; це робилося за допомогою математики. Математика була однією із складових частин релігії.
А яка релігія обходиться без символів? Пентаграма (або пифагорейская зірка - «правильна п'ятикутна зірочка») була для піфагорійців так само значима, як хрест для християн чи півмісяць для мусульман.
У первозданному вигляді піфагорійський союз існував недовго - до південно-італійській провінції докотилася боротьба демосу проти родової аристократії. В Кротоні вона в першу чергу була спрямована проти Піфагора і його учнів. Близько 510 р. До н.е. е. союз був розгромлений, а піфагорійці бігли.
Піфагор зі своїми учнями змушений був сховатися в сусідньому місті Таранто. Але незабаром і там почалися заворушення, що змусило Піфагора і його учнів перебратися в місті Мерапонт, де він загинув, як свідчить одна легенда, в нічний Сватко з демосом.
Смерть Піфагора, як і його життя, оточена легендами. Відповідно до іншої з них, в Кротоні був підпалений будинок піфагорійців, і послідовники Піфагора проклали своїми тілами йому дорогу - міст через вогонь. Вони загинули, а Піфагор, будучи не в силах продовжувати життя, куплену такою ціною, затужив і наклав на себе руки.
Піфагорійці в математиці
Піфагорійці займалися накопиченням абстрактних математичних фактів і об'єднанням їх теоретичної системи. Так, наприклад, з арифметики була виділена в окрему галузь досліджень теорія операцій з натуральними числами. Були знайдені (або спеціально відмічені) способи підсумовування найпростіших арифметичних прогресій.
З ім'ям Піфагора пов'язують також вчення про арифметичні, геометричних і гармонійних пропорціях і середніх.
Піфагорійці займалися вивченням властивостей багатокутників, трикутників і так званими зоряними багатокутниками (багато уваги приділялося вивченню пентаграми). Школі Піфагора приписується побудова планіметрії прямолінійних фігур.
Характеристичної особливістю побудови давньогрецької математики є її логічна доказовість, яка бере свій початок також в піфагорейської школі. Можливо, школа Піфагора має відношення і до побудови теорії подібності.
Піфагор сам встановив, що приємніше слуху співзвуччя виходять, тільки якщо довжини струн, які видають ці звуки. Відносяться як цілі числа першої четвірки: 1: 2, 2: 3, 3: 4. Числа 1, 2, 3, 4 грали у піфагорійців особливу роль, їх називали Тетрактіс.
Найбільшим відкриттям піфагорійців було відкриття неспівмірності величин. Для самих піфагорійців це відкриття виявилося найбільшим потрясінням. Несумірність відрізків була виявлена в квадраті - фігурі, яку вони вважали найбільш досконалою. Відкриття несумірності зруйнувало «числову гармонію світу». Виявилося, що будь-яке число може бути представлено геометричній величиною, наприклад довжиною відрізка, але не всякий відрізок може бути виражений числом.
Збереглося надання, що відкриття неспівмірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор сприйняв як початок хаосу і наказав учням зберігати це відкриття в глибокій таємниці.
Для математики відкриття неспівмірності важко переоцінити. У момент усвідомлення неспівмірності відрізків, чи не вперше, в математику увійшла складна теоретична абстракція. Це мало величезне філософське і методичне значення для всієї подальшої математики.
Ім'я Піфагора носить відома теорема про те, що квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі квадратів, побудованих на його катетах.
Справедливо і зворотне твердження: якщо сторони a, b, c трикутника відповідають пифагорейскому умові: a2 + b2 = c2. то трикутник буде прямокутним, з прямим кутом, що лежить проти сторони с.
Про те, що теорема «квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів» сходить до Піфагору, стверджували давньогрецький письменник і історик Плутарх (Iв.) І давньогрецький філософ - ідеаліст Прокл (V ст.).
Довгий час вважали, що до Піфагора ця теорема була відомою, і тому її назвали «теоремою Піфагора». З такою назвою вона і зараз вивчається в курсі планіметрії середньої школи.
Однак, відомо, що вона застосовувалася для вирішення різних завдань задовго до Піфагора стародавніми єгиптянами, вавилонянами, китайцями, індусами і іншими древніми народами.
На практиці при побудові прямого кута використовується трикутник зі сторонами 3, 4, 5, що, безумовно, було відомо в далекій давнині. Саме такими пропорції археологи знаходять в розмірах тесаних плит піраміді Хефрена.
Цікавим є і той факт, що так звана царська кімната в знаменитій піраміді Хеопса має розміри, пов'язані з числами 3, 4, 5. Ці ж самі пропорції використовувалися і при будівництві чудових храмів в Єгипті, Вавилоні, Китаї, а, ймовірно, також і в Мексиці.
Таким чином, відкриття співвідношення між сторонами трикутника приписувати Піфагору не можна. Швидше за все, він тільки першим зумів узагальнити і дати перше строге доведення в загальному вигляді, зміг перевести це твердження з області практики в область науки.
Природно, що для піфагорійців, як прихильників містифікації чисел, особливий інтерес представляли трикутники, всі три сторони яких виражаються цілими числами, котрі підпорядковуються пифагорейскому умові: a2 + b2 = c2. Такі трикутники називають Піфагорійську.
Піфагорійці знайшли спосіб побудови необмеженого ряду трійок «піфагорових» чисел: де п - непарне число.
Пізніше було відкрито багато співвідношень, що дозволяють знаходити «піфагорові» числа. Так Платон запропонував правило, за яким можна побудувати ряд «піфагорових» трійок вигляду де п - парне.
Ось кілька трійок «піфагорових» чисел:
Історики математики припускають, що теорема Піфагора спочатку була доведена для рівнобедреного трикутника. Ці трикутники часто зустрічаються в орнаментах і виглядають як мережа квадратів і їх діагоналей. площа квадрата, побудованого на гіпотенузі рівнобедреного прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах, так як всі ці квадрати складаються з рівних рівнобедрених трикутників.
Протягом століть теорема Піфагора була багаторазова доведена. Зараз вона - теорема-рекордсмен за кількістю різних доказів, і занесена в книгу рекордів Гіннеса.
Наведемо кілька цікавих її доказів.
Але перш сформулюємо саму теорему Піфагора.
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Доведемо її так, як за легендою, доводив її Піфагор. Для всіх доказів, де прямокутний трикутник позначений буквами АВС: його прямий кут - кут С, катети ВС = а, СА = b, гіпотенуза АВ = с.
Перший доказ Піфагора засноване на понятті рівновеликих фігур.
Рівновеликі фігури - плоскі фігури однакової площі.
Побудуємо квадрат A1B1C1D1. сторона якого дорівнює сумі катетів a і b даного трикутника.
Відзначимо на стороні B1C1 точку F, а на стороні A1B1 точку Н так, що B1F = A1H = а (відповідно FC1 = B1H = b).
Потім паралельно стороні A1B1 проведемо пряму FE, а паралельно стороні A1D1 проведемо пряму HG. Ці прямі розділять квадрат A1B1C1D1 на чотири частини: квадрат A1HOE (зі стороною а), квадрат OFC1G (зі стороною b) і два прямокутника HB1FO і OGD1E (зі сторонами a і b).
У прямокутниках проведемо діагоналі і отримаємо чотири прямокутних трикутника. Позначимо їх для простоти цифрами I, II, III, IV.
Всі чотири отримані прямокутні трикутники мають рівні катети a і b, і, отже, всі ці трикутники рівні.
Потім прямокутні трикутники I, II, III, IV розташуємо так, що катет а оного трикутника буде продовженням катета b іншого. Вийде квадрат A2B2C2D2, сторона якого теж дорівнює сумі катетів a і b.
Таким чином, квадрати A1B1C1D1 і A2B2C2D2 рівні, а значить, рівні їх площі.
Отриманий чотирикутник О1О2О3О4 - є квадратом, рівні всі його сторони (вони є гіпотенузи з різних трикутників), і всі кути - прямі. Доведемо це на прикладі кута при вершині О1.
Кут A2O1D2 - розгорнутий, а сума кутів A2O1O2 і D2O1O4 дорівнює 90º. як сума гострих кутів прямокутного трикутника. Тому кут O2O1O4 - прямий.
І так як SA1B1C1D1 = SA2B2C2D2. то c2 = a2 + b2. і теорема доведена.
Друге доказ, яке приписують Піфагору, грунтується на подібності трикутників. Однак немає єдиної думки з приводу того, наскільки піфагорійці були знайомі з вченням про подібність. Одні історики вважають, що вчення про подібність було створено в школі Піфагора, інші відносять час його створення до часів Евкліда.
З вершини прямого кута прямокутного трикутного АВС опустимо на його підставу висоту СD. Трикутники АВС, CDB і ACD подібні за двома кутами (,
Якщо дано нам трикутник,
І до того ж з прямим кутом,
Те квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети в квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо -
І таким простим шляхом
До результату ми прийдемо.