Співвідношення виду (або) називають першим чудовим межею. Дамо критерій для його розпізнавання:
1) вираз являє собою невизначеність виду,
2),
3) аргументу → 0.
Знайдемо перший чудовий межа серед запропонованих:
1); 2); 3);
4); 5).
Межі 1, 3 і 4 є першими чудовими, так як всі три умови, перераховані в критерії, виконані. У другому прикладі не виконані перше і третє умови, тому це не є перший чудовий межа (межа знаходиться відразу в результаті підстановки граничної точки). П'ятий межа можна звести до першого чудовому, домножимо чисельник і знаменник на 3.
При вирішенні прикладів слід мати на увазі, що межа вираження, що містить будь-яку тригонометричну функцію і має невизначеність вигляду, завжди можна звести до першого чудовому межі, проте в цьому не завжди є необхідність.
Примітка. число "пі" (π) записується як pi. знак ∞ як infinity
Приклад 1. Використовуючи властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій, знайти такі межі:
.
Приклад 8.. Перший чудовий межа застосувати не можна, так як аргументи πx і 3πx у синусів не прагнуть до нуля при x = 1. Тому покладемо x-1 = y, тоді при x → 1 буде y → 0. тоді
.
Приклад 9.. Позначимо x-π / 6 = y, тоді
.