Вивчаючи явища природи, вирішуючи технічні завдання, ми стикаємося з періодичними процесами, які можна описати функціями особливого виду.
Функція y = f (x) з областю визначення D називається періодичної, якщо існує хоча б одне число T> 0, таке, при якому виконуються наступні дві умови:
1) точки x + T, x - T належать області визначення D для будь-якого x ∈ D;
2) для кожного x з D має місце співвідношення
f (x) = f (x + T) = f (x - T).
Число T називається періодом функції f (x). Іншими словами, періодичною функцією є така функція, значення якої повторюються через деякий проміжок. Наприклад, функція y = sin x - періодична (рис. 1) з періодом 2π.
Зауважимо, що якщо число T є періодом функції f (x), то і число 2T також буде її періодом, як і 3T, і 4T і т. Д. Т. Е. У періодичній функції нескінченно багато різних періодів. Якщо серед них є найменший (не дорівнює нулю), то всі інші періоди функції є кратними цього числа. Зауважимо, що не кожна періодична функція має такий найменший позитивний період; наприклад, функція f (x) = 1 такого періоду не має. Важливо також мати на увазі, що, наприклад, сума двох періодичних функцій, що мають один і той же найменший позитивний період T0. не обов'язково має той же самий позитивний період. Так, сума функцій f (x) = sin x і g (x) = -sin x взагалі не має найменшого позитивного періоду, а сума функцій f (x) = sin x + sin 2x і g (x) = -sin x, найменші періоди яких дорівнюють 2π, має найменший позитивний період, рівний π.
Якщо відношення періодів двох функцій f (x) і g (x) є раціональним числом, то сума і твір цих функцій також будуть періодичними функціями. Якщо ж відношення періодів всюди певних і безперервних функцій f і g буде ірраціональним числом, то функції f + g і fg вже будуть непериодическими функціями. Так, наприклад, функції cos x • sin √2 • x і cosj √2 • x + sin x є непериодическими, хоча функції sin x і cos x періодичні з періодом 2π, функції sin √2 • x і cos √2 • x періодичні з періодом √2 • π.
Відзначимо, що якщо f (x) - періодична функція з періодом T, то складна функція (якщо, звичайно, вона має сенс) F (f (x)) є також періодичною функцією, причому число T буде служити її періодом. Наприклад, функції y = sin 2 x, y = √ (cos x) (рис. 2,3) - періодичні функції (тут: F1 (z) = z 2 і F2 (z) = √z). Не слід, однак, думати, що якщо функція f (x) має найменший позитивний період T0. то і функція F (f (x)) буде мати такий же найменший позитивний період; наприклад, функція y = sin 2 x має найменший позитивний період, в 2 рази менший, ніж функція f (x) = sin x (рис. 2).
Неважко показати, що якщо функція f періодична з періодом T, визначена і диференційована в кожній точці дійсної прямої, то функція f '(x) (похідна) є також періодична функція з періодом T, однак первісна функція F (x) (див. Інтегральне обчислення) для f (x) буде періодичною функцією тільки в тому випадку, коли