За визначенням передатна функція (ПФ) є оператор, який дорівнює відношенню зображень вихідний і вхідний координат при нульових початкових умовах:
Призначення сервісу. Об'єкт управління (ОУ) описується лінійним диференціальним рівнянням n порядку. Для коливального ланки n -го порядку визначаються:
- передавальна функція;
- частотні характеристики (амплітуда (АЧХ), фазова (ФЧХ), логарифмічна (ЛЧХ));
- перехідна і імпульсна перехідна (вагова) функції;
- графіки перехідних і частотних характеристик.
Для знаходження передавальної функції онлайн необхідно вибрати
Приклад. Об'єкт управління (ОУ) описується лінійним диференціальним рівнянням третього порядку:
(2)
1) Передавальна функція ОУ в загальному випадку може бути представлена у вигляді відносини
W (i # 969;) = A (# 969;) e i # 966; (# 969;) = U (# 969;) + iV (# 969;),
де R (p) і Q (p) - зображення по Лапласа вихідний і вхідний змінних ОУ, призначену для лівої і правої частин рівняння 1. Звідси, передавальна функція матиме вигляд:
(3)
або
. (4)
2) Визначимо частотні характеристики ОУ. Відомо, що частотна передаточна функція W (# 969;) може бути представлена у вигляді:
, (5)
де A (# 969;) - амплітудна частотна характеристика (АЧХ);
# 966; (# 969;) - фазова частотна характеристика (ФЧХ);
U (# 969;) - речова частотна характеристика (ВЧХ);
V (# 969;) - уявна частотна характеристика;
Підставами i # 969; в вираз (3) замість p. отримаємо:
(6)
На основі виразів (5) і (6) виділимо окремо амплитудную і фазову частотні характеристики і підставимо чисельні значення коефіцієнтів. Виходячи з того що:
A (# 969;) = | W (i # 969;) |
# 966; (# 969;) = arg (W (i # 969;))
(Див. Комплексні числа). Остаточно отримаємо: (7)
3) Визначимо логарифмічну амплітудну частотну характеристику (ЛАЧХ).
Відомо, що ЛАЧХ визначається зі співвідношення:
L (# 969;) = 20lg (A (# 969;)) (8)
Дана характеристика має розмірність дБ (децибели) і показує зміну ставлення потужностей вихідної величини до вхідної. Для зручності ЛАЧХ будують в логарифмічному масштабі.
Фазова частотна характеристика, побудована в логарифмічному масштабі, буде називатися логарифмічною фазовою частотною характеристикою (ЛФЧХ).
Приклади побудови ЛАЧХ і ЛФЧХ для наших вихідних даних наведені на малюнку 1.
Визначимо імпульсну перехідну (вагову) функцію. Вагова функція w (t) являє собою реакцію системи на одиничну імпульсну функцію, подану на її вхід. Вагова функція пов'язана з функцією передачі перетворенням Лапласа.
. (9)
Отже, вагову функцію можна знайти, застосувавши зворотне перетворення Лапласа до передавальної функції.
w (t) = L -1 [W (p)] (10)
Малюнок 1 - L (# 969;) - ЛАЧХ системи (Дб); # 966; (# 969;) - ЛФЧХ системи (град); # 969; - частота вхідного сигналу (рад / с)
Обчислимо наближено коріння полиномов R (p) і Q (p). а потім знайдемо зворотне перетворення Лапласа від передавальної функції і побудуємо графік ваговій функції (рисунок 2). Вагова функція є похідною від перехідної функції h (t). яка є реакцією системи на поетапне вплив. Проинтегрировав w (t) або виконавши зворотне перетворення Лапласа над W (p) / p. знайдемо перехідну функцію h (t) і побудуємо відповідний графік (рисунок 3).
,
.
Малюнок 2 - Тимчасові характеристики. Імпульсна перехідна функція w (t)
Малюнок 3 - Перехідна функція h (t)