Відомо, що для будь-якого значення x вірні рівності
Отже, y = sin x - непарна функція, а y = cos x - парна функція. Так як для будь-якого значення x з області визначення функції y = tg x вірно рівність tg (-x) = -tg x, тоy = tg x - непарна функція.
Відомо, що для будь-якого значення x вірні рівності
sin (x + 2π) = sin x, cos (x + 2π) = cos x.
З цих рівностей випливає, що значення синуса і косинуса періодично повторюються при зміні аргументу на 2π. Такі функції називаються періодичними з періодом 2π.
Функція f (x) називається періодичною. якщо існує таке число T ≠ 0, що для будь-якого x з області визначення цієї функції виконується рівність f (x - T) = f (x) = f (x + T).
Число T називається періодом функції f (x).
З цього визначення випливає, що якщо x належить області визначення функції f (x). то числа x + T, x - T і взагалі числа x + Tn, n Є Z. також належать області визначення цієї періодичної функції і f (x + Tn) = f (x), n Є Z
Число 2π є найменшим позитивним періодом функції y = cos x. також і для функції y = sin x.
π - найменший позитивний період функції tg x.
Область визначення функції-безліч Rвсех дійсних чисел. Безліч значень функції - відрізок [-1; 1], тобто синус функція - обмежена. Функція непарна: sin (-x) = - sin x для всіх х ∈ R. Графік функції симетричний відносно початку координат. Функція періодична з найменшим позитивним періодом 2π. sin (x + 2π · k) = sin x, де k ∈ Z для всіх х ∈ R. sin x = 0 при x = π · k. k ∈ Z. sin x> 0 (позитивна) для всіх x ∈ (2π · k. π + 2π · k), k ∈ Z. sin x <0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k. 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Функція зростає від -1 до 1 на проміжках:
Функція убуває від -1 до 1 на проміжках:
Графік 1.3.6.3. Межа функції y = x (x ≠ 0); 1 (x = 0)> пріx → 0 дорівнює 0.
Межа функції в точці a = 0 дорівнює 0: Межа функції в точці a = 0 також дорівнює 0, хоча ця функція не існує в цій точці (її знаменник звертається в нуль). Межа функції в точці a = 0 дорівнює 0, хоча значення функції в цій точці f (0) = 1.
Якщо функція f (x) має межу в точці a. то ця межа єдиний.
Число A1 називається межею функції f (x) зліва в точці a. якщо для кожного # 949;> 0 існує # 948;> 0 таке, що для всіх виконується нерівність
Число A2 називається межею функції f (x) справа в точці a. якщо для кожного # 949;> 0 існує # 948;> 0 таке, що для всіх виконується нерівність
Межа зліва позначається межа праворуч - Ці межі характеризують поведінку функції зліва і праворуч від точки a. Їх часто називають односторонніми межами. В позначенні односторонніх меж при x → 0обично опускають перший нуль: і. Так, для функції
Якщо для кожного # 949;> 0 існує така # 948; -окрестность точки a. що для всіх x. б відповідала умовам | x - a | <δ, x ≠ a. выполняется неравенство |f (x )|> # 949 ;, то кажуть, що функція f (x) має в точці a нескінченну границю:
Так, функція має в точці x = 0 нескінченну границю Часто розрізняють межі, рівні + ∞ і -∞. так,
Якщо для кожного # 949;> 0 існує таке # 948;> 0, що для будь-якого x> # 948; виконується нерівність | f (x) - A | <ε, то говорят, что предел функции f (x ) при x. стремящемся к плюс бесконечности, равен A :
Аналогічно формулюється визначення меж при x. яка прагне до мінус нескінченності: Як приклад наведемо функцію яка прагне на нескінченності до нуля:
Нарешті, запис означає, що для будь-якого # 949;> 0 існує таке # 948;> 0, що для будь-якого x> # 948; виконується нерівність f (x)> # 949 ;. Запис означає, що для будь-якого # 949;> 0 існує таке # 948;> 0, що для будь-якого x> # 948; виконується нерівність f (x) <–ε. Запись означает, что для любого ε> 0 існує таке # 948;> 0, що для будь-якого x <–δ выполняется неравенство f (x ) <–ε.
Якщо функція f (x) має кінцевий межа в точці a. то існує околиця точки a. в якій функція f обмежена (можливо, що в самій точці a функція не визначена). При цьому, якщо A ≠ 0, то знайдеться околиця точки a. в якій (можливо, за винятком самої точки a) значення функції f мають той же знак, що і число A.
Якщо існує таке # 948;> 0, що для всіх x. що належать # 948; -окрестності точки a. виконуються нерівності