Параметричні рівняння прямої елементарно виходять з канонічного рівняння цієї прямої, що має вигляд. Приймемо за параметр величину, на яку можна помножити ліву і праву частини канонічного рівняння.
Так як один з знаменників обов'язково відмінний від нуля, а відповідний чисельник може приймати які завгодно значення, то областю зміни параметра є вся вісь дійсних чисел:.
Ми отримаємо або остаточно
Рівняння (1) і є шукані параметричні рівняння прямої. Ці рівняння допускають механічну інтерпретацію. Якщо вважати, що параметр - це час, що відраховується від деякого початкового моменту, то параметричні рівняння визначають закон руху матеріальної точки по прямій лінії з постійною швидкістю (такий рух відбувається по інерції).
Приклад 1. Скласти на площині параметричні рівняння прямої, що проходить через точку і має направляючий вектор.
Рішення. Підставляємо дані точки і направляючого вектора в (1) і отримуємо:
Часто в задачах потрібно перетворити параметричні рівняння прямої в інші види рівнянь, а з рівнянь інших видів отримати параметричні рівняння прямої. Розберемо кілька таких прикладів. Для перетворення параметричних рівнянь прямої в загальне рівняння прямої спочатку слід привести їх до канонічного вигляду, а потім з канонічного рівняння отримати загальне рівняння прямої
Приклад 2. Записати рівняння прямої
Рішення. Спочатку наводимо параметричні рівняння прямої до канонічного рівняння:
Подальшими перетвореннями наводимо рівняння до загального вигляду:
Кілька більш складно перетворення загального рівняння в параметричні рівняння прямої, а й для цього дії можна скласти чіткий алгоритм. Спочатку можна перетворити загальне рівняння в рівняння з кутовим коефіцієнтом і знайти з нього координати будь-якої точки, що належить прямій, надаючи одній з координат довільне значення. Коли відомі координати точки і направляючого вектора (із загального рівняння), можна записати параметричні рівняння прямої.
Приклад 3. Записати рівняння прямої у вигляді параметричних рівнянь.
Рішення. Наводимо загальне рівняння прямої в рівняння з кутовим коефіцієнтом:
Знаходимо координати деякої точки, що належить прямій. Додамо однієї з координат точки довільне значення
З рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом отримуємо іншу координату точки:
Таким чином, нам відомі точка і спрямовує вектор. Підставляємо їх дані в (1) і отримуємо шукані параметричні рівняння прямої:
Приклад 4. Знайти кутовий коефіцієнт прямої, заданої параметричними рівняннями
Рішення. Параметричні рівняння прямої спочатку слід перетворити в канонічне, потім в загальний і, нарешті, в рівняння з кутовим коефіцієнтом.
Таким чином, кутовий коефіцієнт заданої прямої:
Приклад 5. Скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через точку і перпендикулярної прямої
Рішення. Cначала знайдемо з даних параметричних рівнянь координати вектора нормалі шуканої прямої. Якщо направляючий вектор, то. З даного рівняння отримуємо
Складемо загальне рівняння шуканої прямої за формулою:
Перетворимо отримане рівняння в рівняння з кутовим коефіцієнтом:
Знаходимо будь-яку точку, що належить цій прямій. Для цього однією з координат цієї точки додамо довільне значення. тоді
Шукані параметричні рівняння прямої: