Перед початком роботи з цією темою раджу подивитися розділ з термінологією для числових рядів. Особливо варто звернути увагу на поняття загального члена ряду. Якщо у вас є сумніви в правильності вибору ознаки збіжності, раджу глянути тему "Вибір ознаки збіжності числових рядів".
Ознака Д'Аламбера (або ознака Даламбера) використовується для дослідження збіжності рядів, загальний член яких суворо більше нуля, тобто $ U_n> 0 $. Такі ряди називають строго позитивними. У стандартних прикладах ознака Д'Аламбера використовують в граничній формі.
Ознака Д'Аламбера (в граничній формі)
Якщо ряд $ \ sum \ limits_ ^ u_n $ строго позитивний і $$ \ lim_ \ frac> = L, $$ то при $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (і при $ L = \ infty $) ряд розходиться.
Формулювання досить проста, але залишається відкритим наступне питання: що буде, якщо $ L = 1 $? Відповіді на це питання ознака Д'Аламбера дати не в змозі. Якщо $ L = 1 $, то ряд може як сходитися, так і розходитися.
Найчастіше в стандартних прикладах ознака Д'Аламбера застосовується, якщо в вираженні загального члена ряду присутні многочлен від $ n $ (многочлен може бути і під коренем) і ступінь виду $ a ^ n $ або $ n! $. Наприклад, $ u_n = \ frac $ (див. Приклад №1) або $ u_n = \ frac> $ (див. Приклад №2). Взагалі, для стандартного прикладу наявність $ n! $ - це своєрідна "візитна картка" ознаки Д'Аламбера.
Запис "n!" (Читається "ен факторіал") позначає твір всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто
$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$
За визначенням годиться, що $ 0! = 1! = 1 $. Для прикладу знайдемо 5.
$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$
Крім того, нерідко ознака Д'Аламбера використовують для з'ясування збіжності ряду, загальний член якого містить твір такої структури: $ u_n = \ frac $.
Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n = \ frac $. Так як при $ n≥ 1 $ маємо $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ і $ 2n ^ 3-1> 0 $, то $ u_n> 0 $. Отже, наш ряд є строго позитивним.
Перевіряти виконання необхідної умови збіжності тут трохи важко, тому цю перевірку ми пропустимо.
Що ми можемо сказати про загальний член ряду? Він містить многочлени $ 3n + 7 $, $ 2n ^ 3-1 $ і ступінь $ 5 ^ n $. Це відразу наводить на думку про застосування ознаки Д'Аламбера.
Щоб застосувати цей показник, нам доведеться знайти межу відносини $ \ frac> $. Загальний член ряду у нас є, ось він: $ u_n = \ frac $. А формулу для $ u_ $ запишемо окремо. Щоб записати $ u_n $, потрібно в формулу $ u_n = \ frac $ замість $ n $ підставити $ n + 1 $:
При бажанні знаменник можна записати без дужок, так як $ 2 (n + 1) ^ 3-1 = 2n ^ 3 + 6n ^ 2 + 6n + 1 $, проте в цьому немає необхідності. Отже, знайдемо чому ж дорівнює значення $ \ lim_ \ frac> $. При спрощення отриманого виразу врахуємо, що $ \ frac> = 5 ^ = 5 ^ 1 = 5 $.
Щоб обчислити вийшов межа, потрібно розділити і чисельник і знаменник на $ n ^ 4 $ (див. Приклад №1 на цій сторінці):
Чесно кажучи, ознака Д'Аламбера - не єдиний варіант в даній ситуації. Можна використовувати, наприклад, радикальний ознака Коші. Однак застосування радикального ознаки Коші потребують знання (або докази) додаткових формул. Тому використання ознаки Д'Аламбера в даній ситуації більш зручно.
Відповідь. ряд розходиться.
Дослідити ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac> $ на збіжність.
Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n = \ frac> $. Заданий ряд є строго позитивним, тобто $ U_n> 0 $.
Загальний член ряду містить многочлен під коренем, тобто $ \ Sqrt $, і факторіал $ (3n-2)! $. Наявність факторіала в стандартному прикладі - майже стовідсоткова гарантія застосування ознаки Д'Аламбера.
Щоб застосувати цей показник, нам доведеться знайти межу відносини $ \ frac> $. Щоб записати $ u_ $, потрібно в формулу $ u_n = \ frac> $ замість $ n $ підставити $ n + 1 $:
Так як $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $, то формулу для $ u_ $ можна записати по-іншому:
Ця запис зручна для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею. Якщо рівність з факторіалами вимагає пояснень, то прошу розкрити примітку нижче.
Як ми отримали рівність $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $? показати \ приховати
Запис $ (3n + 1)! $ Означає твір всіх натуральних чисел від 1 до $ 3n + 1 $. Тобто цей вислів можна записати так:
Безпосередньо перед числом $ 3n + 1 $ варто число, на одиницю менше, тобто число $ 3n + 1-1 = 3n $. А безпосередньо перед числом $ 3n $ варто число $ 3n-1 $. Ну, а безпосередньо перед числом $ 3n-1 $ маємо число $ 3n-1-1 = 3n-2 $. Перепишемо формулу для $ (3n + 1)! $:
$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$
Що являє собою твір $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Цей твір дорівнює $ (3n-2)! $. Отже, вираз для $ (3n + 1)! $ Можна переписати в такій формі:
$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$
Ця запис зручна для подальшого вирішення, коли нам доведеться скорочувати дріб під межею.
Відповідь. ряд сходиться.
Дослідити ряд $ \ sum \ limits _ ^ \ frac> $ на збіжність.
Так як нижня межа підсумовування дорівнює 1, то загальний член ряду записаний під знаком суми: $ u_n = \ frac> $. Заданий ряд ряд є строго позитивним, тобто $ U_n> 0 $.
Загальний член ряду містить як факторіал $ (2n + 5)! $, Так і ступінь $ 4 ^ $. Застосовуємо ознака Д'Аламбера.
Нам буде потрібно $ u_ $. Підставляючи в формулу $ u_n = \ frac> $ замість $ n $ вираз $ n + 1 $, матимемо:
Обчислимо значення $ \ lim_ \ frac> $. При скороченні станемо враховувати, що $ (2n + 7)! = (2n + 5)! (2n + 6) (2n + 7) $ (див. Примітку в попередньому прикладі №2) і $ \ frac >> = 4 ^ = 4 ^ = \ frac = \ frac $.
Відповідь. ряд розходиться.
Продовження теми дослідження збіжності рядів з допомогою ознаки Д'Аламбера розглянемо в другій і третій частинах.