"Тільки з союзу двох, що працюють разом і за допомогою один одного, народжуються великі речі."
Антуан де Сент-Екзюпері
Математика різноманітна і багатогранна. Існує ряд ситуацій в освітньому процесі, коли при вивченні будь-якої теми з фізики, хімії, біології і т.д. зачіпаються поняття математики, наприклад, існують завдання, які вирішують як на уроках математики, так і на уроках хімії. Способи вирішення завдань представляють і вчителя хімії, і математики, але є проблема: математики знають математику, а хіміки - хімію. І не завжди способи збігаються.
У даній статті наводяться рекомендації щодо вирішення хімічних завдань на змішання розчинів різними способами: за допомогою розрахункової формули, "Правила змішування", "Правила хреста", графічного методу, алгебраїчного методу. Наведено приклади розв'язання задач.
1. Основні хімічні поняття
Наведемо деякі вказівки до вирішення задач на розчини.
Основними компонентами цього типу завдань є:
а) масова частка розчиненої речовини в розчині;
б) маса розчиненої речовини в розчині;
в) маса розчину.
а) всі отримані суміші і сплави є однорідними;
б) змішування різних розчинів відбувається миттєво;
в) об'єм суміші дорівнює сумі обсягів змішуються розчинів;
г) обсяги розчинів і маси сплавів не можуть бути негативними.
Визначення та позначення.
Масова частка розчиненої речовини в розчині - це відношення маси цієї речовини до маси розчину.
де - масова частка розчиненої речовини в розчині;
- маса розчиненої речовини в розчині;
Слідства формули (1):
- масова частка розчиненої речовини в першому розчині;
- масова частка розчиненої речовини в другому розчині;
- масова частка розчиненої речовини в новому розчині, отриманому при змішуванні першого і другого розчинів;
m1 (в-ва), m2 (в-ва), m (в-ва) - маси розчинених речовин у відповідних розчинах;
m1 (р-ра), m2 (р-ра), m (розчину) - маси відповідних розчинів.
Основними методами вирішення завдань на змішування розчинів є: за допомогою розрахункової формули, "Правило змішання", "Правило хреста", графічний метод, алгебраїчний метод.
Наведемо опис зазначених методів.
1.1. За допомогою розрахункової формули
У наших позначеннях, одержимо формулу для обчислення масової частки речовини (?) В суміші.
1. Маса отриманого при змішуванні розчину дорівнює:
2. Визначимо маси розчинених речовин в першому і другому розчинах:
3. Отже, маса розчиненої речовини в отриманому розчині обчислюється як сума мас речовин у вихідних розчинах:
4. Таким чином, масова частка розчиненої речовини в отриманому розчині дорівнює:
де - маси відповідних розчинів.
Зауваження: При вирішенні завдань зручно складати наступну таблицю.
Скористаємося формулою (4):
Таким чином, відношення маси першого розчину до маси другого дорівнює відношенню різниці масових часток суміші і другого розчину до різниці масових часток першого розчину і суміші.
Аналогічно отримуємо, що при
Зауваження: Формула (5) зручна тим, що на практиці, як правило, маси речовин не відважуються, а беруться в певному відношенні.
1.3. "Правило хреста"
"Правилом хреста" називають діагональну схему правила змішування для випадків з двома розчинами.
Зліва на кінцях відрізків записують вихідні масові частки розчинів (зазвичай зліва вгорі-велика), на перетині відрізків - задана, а справа на їх кінцях записуються різниці між вихідними і заданої масовими частками. Отримувані масові частини показують в якому відношенні треба злити вихідні розчини.
1.4. графічний метод
Відрізок прямої (підстава графіка) являє собою масу суміші, а на осях ординат відкладають точки, відповідні масовим часткам розчиненої речовини в початкових розчинах. Поєднавши прямий точки на осях ординат, отримують пряму, яка відображає функціональну залежність масової частки розчиненої речовини в суміші від маси змішаних розчинів в зворотній пропорційній залежності
Отримана функціональна пряма дозволяє вирішувати завдання по визначенню маси змішаних розчинів і зворотні, по масі змішаних розчинів знаходити масову частку отриманої суміші.
Зауваження: Даний спосіб є наочним і дає наближене рішення. При використанні міліметрового паперу можна отримати досить точну відповідь.
1.5. алгебраїчний метод
Завдання на змішування розчинів вирішують за допомогою складання рівняння або системи рівнянь.
2. Приклади розв'язання задач
У 100 г 20% -ного розчину солі додали 300 г її 10% -ного розчину. Визначте процентну концентрацію розчину.
Рішення.- C допомогою розрахункової формули
- Скільки розчиненої речовини міститься:
а) в 100 г 20% -ного розчину; [100 • 0,2 = 20 (г)]
б) в 300 г 10% -ного розчину? [300 • 0,1 = 30 (г)]
20 г + 30 г = 50 г
100 г + 300 г = 400 г
Нехай х - процентна концентрація отриманого розчину. У першому розчині міститься 0,2 • 100 (г) солі, а в другому 0,1 • 300 (г), а в отриманому розчині х • (100 + 300) (г) солі. Складемо рівняння:
0,2 • 100 + 0,1 • 300 = х • (100 + 300);
Завдання 2. u (№10.26, [1])
Змішали 10% -ний і 25% -ний розчини солі і отримали 3 кг 20% -ного розчину. Яка кількість кожного розчину в кілограмах було використано?
а) C допомогою рівняння:
Нехай х (кг) - маса 1-го розчину, тоді 3-х (кг)-маса 2-го розчину.
0,1 • х (кг) міститься солі в 1-му розчині,
0,25 • (3-х) (кг) міститься солі в 2-му розчині,
0,2 • 3 (кг) міститься солі в суміші.
З огляду на, що маса солі в 1-му та 2-му розчинах дорівнює масі солі в суміші, складемо і вирішимо рівняння:
0,1 • х + 0,25 • (3-х) = 0,2 • 3;
х = 1, 1 кг-маса 1-го розчину
3 - х = 3 - 1 = 2 (кг) - маса 2-го розчину.
Відповідь: 1 кг, 2 кг.
б) За допомогою системи рівнянь
Нехай х (кг) - кількість першого розчину, у (кг) - кількість другого розчину. Система рівнянь має вигляд:
Відповідь: 1 кг, 2 кг.
Складемо діагональну схему
Рішення (графічний спосіб)
Відповідь: 3 л, якщо 0 <р <20, [0,3], если р = 20, 0л, если 20 <р 100.
Завдання 4 (робота 5, №2, [1])
У двох судинах по 5 л кожний міститься розчин солі. Перший посудину містить 3л р% - ного розчину, а другий - 4 л 2р% - ного розчину однієї і тієї ж солі. Скільки літрів треба перелити з другого судини в перший, щоб отримати в ньому 10% - ний розчин солі? При яких значеннях р задача має рішення?
Знайдемо, при яких значеннях р задача має рішення. За умовою завдання 5-ти літровий сосуд містить 3л першого розчину, отже, до нього можна долити від 0 до 2 л другого розчину.
Маємо, Вирішуючи нерівність, отримуємо
Дані рекомендації призначені вчителям математики, які бажають організувати курси за вибором, як в дев'ятих, так і в десятих і одинадцятих класах. Мета створюваних курсів: навчити учнів користуватися математичним апаратом при вирішенні хімічних задач.