Основні характеристики числової функції утримання

§ 8. Основні характеристики числової функції 85

8.1. Область визначення і область значень функції 86

8.2. Нулі функції і проміжки знакопостоянства 87

8.3. Парність, непарність функцій 89

8.4. Періодичність функції 91

8.5. Монотонність і екстремуми функції 95

8.6. Найбільше і найменше значення функції 98

8.7. Обмеженість функції 99

8.8. Вправи для самостійної роботи 99

Питання для самоперевірки 101

До переліку основних характеристик числової функції зазвичай включають:

- область визначення функції,

- область значень,

- нулі і проміжки знакопостоянства функції,

- парність, непарність функції,

- проміжки монотонності функції,

- найбільше і найменше значення функції,

Ці характеристики часто називаютглобальнимі характеристиками функції. так як вони характеризують числову функцію в цілому. Далі будемо вивчати ещелокальние характеристики функцій - межа, безперервність, дифференцируемость, диференціал, які описують властивості функцій локально, тобто в околиці окремих значень її аргументу. Глобальні характеристики функції в основному відомі з елементарної математики, тому тут вони повторюються оглядово.

Область визначення і область значень функції

Областю визначення числової функції (ООФ)

називається безліч числових значень, які може приймати аргумент x. так щоб функція мала сенс.

ООФ - це основна характеристика будь-якої функції, з урахуванням якої досліджуються всі інші характеристики;

ООФ знаходиться найчастіше як подмножествоX безлічі дійсних чисел

, на якому можна виконати всі операції, що визначають значення функцііy за значенням її аргументаx; в цьому случаеООФ називаютестественной областю визначення функції і вона збігається з областю допустимих значень (ОДЗ) дляв вираженііf (x);

ООФ може перебувати за змістом функції

і в цьому випадку вона буде більш вузької, ніж естественнаяООФ;

Областю значень числової функції (ОЗФ)

називається безліч числових значень, які приймає функціяy. якщо її аргумент.

ОЗФ - це допоміжна характеристика функції, яка цілком визначається після побудови графіка функції. До того, як графік побудований, ОЗФ може бути знайдена тільки в окремих випадках, коли це допомагають зробити відомі властивості основних елементарних функцій, за допомогою яких записана досліджувана функція. ДляОЗФ прийняті також обозначеніяE (f) іліE (y).

Приклад 1 (знаходження ООФ і ОЗФ)

ОЗФ:

, так як це складна функція, отримана суперпозицією двох функцій: І;

ООФ записана з обмеження щодо розподілу: на нуль ділити не можна;

ОЗФ можна знайти тільки після побудови графіка функції;

ООФ визначена операцією вилучення кореня квадратного, яка має сенс тільки для невід'ємних чисел;

ОЗФ:

, так як корінь квадратнийвживає всіх невід'ємні значення, якщо ;

тут ООФ враховує обмеження операції логарифмування (логарифми існують тільки від позитивних чисел) і операції ділення (на нуль ділити не можна);

ОЗФ визначається після побудови графіка функції;

тут ООФ записана за змістом завдання функції;

ОЗФ:

- визначена за графіком функції;

6) послідовність із загальним членом

може розглядатися як функція натурального аргументаn, тобтоООФ:;

тут ООФ записана за змістом завдання функції; ОЗФ:

.

Таким чином, в якості ООФ і ОЗФ

можуть вийти будь-яку безліч: безперервні або дискретні, нескінченні або кінцеві, в тому числі може вийти порожня множина.

Схожі статті

• Розсувні двері основні характеристики, плюси і мінуси, особливості вибору

• Освітлення основні світлотехнічні характеристики

• Гарбуз росіянка опис і основні характеристики