1. Сила тертя ковзання
де коефіцієнт тертя ковзання; абсолютна величина сили нормального тиску; одиничний вектор в напрямку швидкості тіла.
де коефіцієнтами жорсткості;
- коефіцієнт жорсткості при послідовному з'єднанні пружин з коефіцієнт жорсткості і відповідно;
коефіцієнт жорсткості при паралельному з'єднанні пружин з коефіцієнтами жорсткості і відповідно; координата незакріпленого кінця пружини; вона ж для нерастянутой пружини. Знак мінус показує, що сила спрямована в бік, протилежний деформації.
де Нм / кг 2 - гравітаційна стала; ; радіус вектор тіла 2 щодо тіла 1. Знак мінус вказує на притягання тел.
де прискорення вільного падіння (поблизу поверхні Землі); м / с 2;
де маса і радіус Землі (планети, зірки) відповідно; висота над поверхнею Землі.
5. Принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, то кожна з цих сил повідомляє матеріальної точки прискорення згідно з другим законом Ньютона, як ніби інших сил не було. Згідно з цим принципом, сили і прискорення можна розкладати на складові. Сила, що діє на матеріальну точку, що рухається по кривій, може бути розкладена на дві складові - тангенціальну і нормальну.
Тангенціальна (або дотична) сила
де одиничний вектор спрямований по дотичній до траєкторії.
Нормальна (або доцентрова) сила
де радіус кривизни траєкторії; одиничний вектор, спрямований по нормалі до траєкторії.
1. Імпульс матеріальної точки
де - швидкість матеріальної точки.
2. Імпульс системи матеріальних точок
де - маса -ої частки, - її швидкість в інерціальній системі відліку.
Другий закон Ньютона
де геометрична сума сил, що діють на матеріальну точку; - її імпульс; - число сил, що діють на точку.
2. Якщо маса постійна, то другий закон Ньютона класичної механіки може бути виражений формулою
3. Якщо не відомий точний закон, за яким змінюється повна сила
діюча на тіло, то можна використовувати поняття середньої сили за якийсь проміжок часу від моменту до.
Тоді рівняння другого закону Ньютона можна записати у вигляді
де - зміна імпульсу за той же проміжок часу; іноді твір називають середнім імпульсом сили.
4. Другий закон Ньютона в координатної (скалярної) формі
де під знаком суми стоять проекції сил на відповідні осі координат.
Третій закон Ньютона
де - сила, що діє на i-ую матеріальну точку з боку k-ой матеріальної точки; - сила, що діє на k-ту матеріальну точку з боку i-ой матеріальної точки. Сили, з якими діють один на одного матеріальні точки, завжди рівні за модулем, прикладені до різних матеріальних точок, протилежно спрямовані, завжди діють парами і діють вздовж прямої, що з'єднує ці точки.
2. Класифікація задач та рекомендації щодо методів їх вирішення
Завдання на динаміку прямолінійного руху матеріальної точки, виходячи з методики їх вирішення, можна розбити на наступні основні типи.
1) Усі сили. діючі на тіло збігаються з прямою, вздовж якої спрямований вектор прискорення. У цьому випадку рівняння другого закону Ньютона у векторному вигляді та рішення в скалярною формі проводиться з урахуванням напрямку сил.
2) Якщо діючі на тіло сили різноспрямовані (а тим більше деякі з них не збігаються за напрямком с. Наприклад, рух тіла по похилій площині):
· Вибрати дві довільні осі ОХ і OY (для спрощення рішення бажано одну з них направити уздовж вектора прискорення);
· Спроектувати всі діючі сили на осі ОХ і OY;
· Записати другий закон Ньютона відповідно для осей ОХ:
· Вирішити систему рівнянь спільно (при необхідності доповнити відповідними кінематичними рівняннями руху).
3) Рух декількох сил, пов'язаних невагомими і нерозтяжними нитками (рух декількох тіл по горизонтальній і похилій площинах; завдання на блоки, через які перекинута нитка - мотузка, канат, шнур і т.д.).
Основні закономірності при вирішенні задач на блоки можна сформулювати наступним чином:
· Блок вважати невагомим (або його масою можна знехтувати);
· Нитки між тілами вважати невагомими і нерозтяжними;
· Сили натягу нитки по обидві сторони блоку однакові;
· Другий закон Ньютона записувати для кожного тіла окремо (з урахуванням обраного напрямку руху системи тіл);
· Якщо нитка перекинута, наприклад, через 2 невагомих блоку (один - рухливий, другий - нерухомий), сила натягу нитки буде по всій довжині однакова, але прискорення вантажів внаслідок руху рухомого блоку різні.
3. Приклади розв'язання типових задач
Аеростат масою m250 кг почав опускатися з прискоренням 0,2 м / с 2. Визначити масу баласту, який слід скинути, щоб аеростат отримав таке ж прискорення, але спрямоване вгору. Прискорення вільного падіння 9,8 м / с 2. Опором повітря знехтувати.
Рішення: Так як аеростат опускається з прискоренням. меншим прискорення вільного падіння. і за умовою задачі опір повітря відсутній, то це означає, що на нього крім сили тяжіння діє підйомна сила. спрямована вертикально вгору.
Діючі на аеростат сили спрямовані вертикально, отже, рівняння руху
досить спроектувати тільки на одну вісь системи координат OY:
Звідки підйомна сила
Якщо скинути баласт масою. то рівняння руху можна записати у вигляді
або з урахуванням отриманого виразу для підйомної сили
Отже, маса скинутої баласту дорівнює
Автомобіль, рушаючи з місця, за час 5с рівноприскореному набирає швидкість 72 км / ч.
Знайти мінімально можливий коефіцієнт тертя між колесами автомобіля і дорогою при такому русі.
Який найменший гальмівний шлях автомобіля, який набрав цю швидкість?
Рішення: При русі автомобіля, як при розгоні, так і при гальмуванні, на нього діють три сили: сила тяжіння. сила нормальної реакції з боку дороги і сила тертя
а) При прискореному русі автомобіля сила тертя перешкоджає прослизанню ведучих коліс по поверхні дороги, тому, вона спрямована в бік руху і є силою тертя спокою. Саме сила тертя спокою в даному випадку буде рушійною силою. Виходячи з обраної системи координат XOY, рівняння руху має вигляд
У проекціях на осі системи координат:
Висловивши силу тертя через силу реакції і коефіцієнт тертя між колесами і дорогою
з рівняння руху визначимо прискорення автомобіля:
З іншого боку, так як за умовою завдання автомобіль рухаючись рівноприскореному за час придбав швидкість. то його прискорення дорівнює
З виразу маємо 0,41. отже,
б) При гальмуванні сила тертя спрямована в бік, протилежний руху і є силою тертя ковзання. Рівняння руху автомобіля в цьому випадку в проекціях на осі координат
Враховуючи що. прискорення автомобіля при гальмуванні
Шлях, пройдений автомобілем, що рухається равнозамедленно з початковою швидкістю дорівнює
Час руху до зупинки можна визначити з умови, що кінцева швидкість автомобіля
З огляду на вираження для коефіцієнта тертя (7), отримуємо
На гладкій похилій площині з кутом при основі лежить дошка масою М, а на дошці - брусок масою m. На дошку діє сила, спрямована вгору по схилу. При якій величині цієї сили, вантаж почне зісковзувати? Коефіцієнт тертя між дошкою і бруском. Прискорення вільного падіння .
Рішення: Сили, що діють на кожне з тіл, в інерціальній системі відліку XOY вказані на Рис.2.4.
На брусок діє сила тяжіння. сила тертя. сила і сила реакції; на дошку діє сила тяжіння. сила реакції. сила тертя і вага бруска рівний по величині. Врахуємо, що
Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі обраної системи координат за умови, що брусок по дошці не ковзає:
Вирішуючи систему рівнянь, отримаємо.
Отже, при брусок буде зісковзувати з дошки.
На похилій площині з кутом при підставі нерухомо лежить кубик. Коефіцієнт тертя між клином і кубиком дорівнює. Похила площина рухається з прискоренням в напрямку, показаному на рис. 2.5. При якому мінімальному значенні цього прискорення кубик почне зісковзувати?
Рішення: Запишемо другий закон Ньютона в проекціях на осі ОХ і ОY системи відліку, пов'язаної з Землею, вважаючи, що кубик щодо клина спочиває:
Так як кубик спочиває щодо клина, то і пов'язані співвідношенням. тобто
Отже, при кубик почне зісковзувати при прискоренні клина, що дорівнює
Якщо. то тіло почне зісковзувати при будь-якому як завгодно малому прискоренні.