Сумою (об'єднанням) двох собитійАіB (позначається) називається подія, що складається з усіх елементарних фіналів, що належать принаймні одному з подій А або B. Об'єднання подій А і В зображено на малюнку 2 у вигляді заштрихованої області.
Наведемо приклад об'єднання подій. Нехай два стрільці стріляють в мішень одночасно, і подія А полягає в тому, що в мішень потрапляє 1-й стрілок, а подія B - в тому, що в мішень потрапляє 2-й. Подія означає, що мета вражена, або, інакше, що в мішень потрапив хоча б один з стрільців.
Твором (перетином) подій А і B називається подія, що складається з усіх тих елементарних фіналів, які належать і А і B. На малюнку 3 перетин подій А і B зображено у вигляді заштрихованої області. В умовах наведеного вище прикладу подія полягає в тому, що в мішень потрапили обидва стрілка.
РазностьюА \ B або А -B подій А і B називається подія, що складається з усіх результатів події А. не сприяє події B. Діаграма Венна різниці подій А і B зображена на малюнку 4.
В умовах розглянутого вище прикладу подія А \ B полягає в тому, що перший стрілок влучив у мішень, а другий промахнувся.
подія # 87; називається достовірним (воно обов'язково відбувається в результаті випадкового експерименту).
порожня множина # 198; називається неможливою подією. подія = # 87; \ A називається протилежним події А чи доповненням події А.
Події А і B називаються несумісними. якщо немає результатів, що належать і А і B. тобто = # 198 ;. На малюнку 5 зображені несумісні події А і B.
Подія В будемо називати наслідком події А. якщо всі результати події А сприяють події В. Те, що з А слід В записується символом А # 204; В і зображується на діаграмі Венна так, як це показано на малюнку 6.
Безпосередньо з введених визначень слідують рівності:; A = # 198; ; ; . Два останніх рівності називаються формулами Де'Моргана.
Теореми додавання та множення ймовірностей. Незалежність подій. Умовна ймовірність.
1. Три стрільці стріляють по одній мішені, і кожен потрапляє або промахується незалежно від результатів пострілів інших стрільців. Ймовірності попадання в мішень для кожного з стрільців, відповідно, рівні: 0,8; 0,7; 0,5. Визначити ймовірності наступних подій:
а) всі три стрілка потрапили в мішень;
б) хоча б один стрілець потрапив в мішень;
в) в мішень потрапили два стрілка.
а) Так як тут розглядаються незалежні події, ймовірність попадання в мішень всіх трьох стрільців дорівнює добутку ймовірностей попадання кожного:
P = 0,8 '0,7' 0,5 = 0,28
б) Позначимо цю подію А. Йому сприяє кілька несумісних результатів, наприклад, такий:. Замість того, щоб розглядати всі ці результати, візьмемо подія - додаток собитіяА або, інакше, подія, протилежне події А. Воно полягає в тому, що всі три стрілка не були в мішень. Його ймовірність дорівнює:
(1 - 0,8) '(1 - 0,7)' (1 - 0,5) = 0,5
Тепер можна визначити ймовірність, що цікавить нас:
Р (А) = 1 - Р () = 1 - 0,5 = 0,5
в) Цій події сприяють три результати:
0,8 '0,7' (1 - 0,5) = 0,28
0,8 '(1 - 0,7)' 0,5 = 0,12
(1 - 0,8) '0,7' 0,5 = 0,07
Очевидно, що ці результати несумісні, і тому ймовірність їх об'єднання, що представляє собою подія А. дорівнює сумі їх ймовірностей:
Р (А) = 0,28 + 0,12 + 0,07 = 0,47
2. кинуті три гральних кістки. Знайти ймовірності наступних подій:
а) випало три шістки;
б) випало три шістки, якщо відомо, що на одній з кісток випала шістка.
а) Тут відповідь очевидна:
б) Позначимо через А подію, що складається в випаданні трьох шісток, а через В - в випаданні шістки хоча б на одній кістки. Тоді Р (А / В) - шукана ймовірність. подія А # 199; У в даному випадку збігається з подією А. звідки слід: Р (А # 199; В) =. Імовірність події В дорівнює різниці одиниці і ймовірності події. протилежної події В, тобто випадання трьох чисел, відмінних від шістки. Ймовірність дорівнює. Звідси випливає: Р (В) =. В результаті виходить:
3. З 20 студентів, які перебувають в аудиторії, 8 людей палять, 12 носять окуляри, а 6 і курять і носять окуляри. Одного зі студентів викликали до дошки. Визначимо події А і В такий спосіб: A =, B =.
Встановити, залежні події A і B чи ні. Зробити припущення про характер впливу куріння на зір.
Рішення. Так як . то умова незалежності не виконується, отже, події A і B залежні.
Знайдемо умовну ймовірність того, що студент носить окуляри, за умови, що він курить:. Безумовна ймовірність того, що студент носить окуляри. дорівнює. Так як . то робимо висновок: куріння сприяє погіршенню зору.
5. Студент знає 20 з 25 питань програми. Залік зданий, якщо студент відповість не менш ніж на 3 з 4-х питань у квитку. Поглянувши на перше питання, студент виявив, що знає його. Яка ймовірність, що студент здасть залік?
Нехай А - подія, що полягає в тому, що студент здав залік;
В - подія, що полягає в тому, що студент знає перше питання в квитку.
Очевидно, що р (В) =. Тепер необхідно визначити ймовірність р (А # 199; В). З 25-ти питань всього можна скласти різних квитків, що містять 4 питання. Всі квитки, вибір яких задовольняв би і події А і події В, повинні бути складені таким чином. або студент знає всі питання квитка (можна скласти всього таких квитків), або студент знає перший, другий і третій питання, але не знає четвертого (можна скласти всього 5 таких квитків), або студент знає перший, другий і четвертий питання, але не знає третього (теж 5 квитків), або студент знає перший, третій і четвертий питання, але не знає другого (теж 5 квитків). Звідси отримуємо, що
Залишилося тільки знайти шукану ймовірність р (А / В):
Оцінка параметрів генеральної сукупності
Основними параметрами генеральної сукупності є математичне очікування (генеральна середня) М (Х) і середньоквадратичне відхилення # 115 ;. Це постійні величини, які можна оцінити за вибірковими даними. Оцінка генерального параметра, що виражається одним числом, називається точковою.
Точкової оцінкою генеральної середньої # 109; є вибіркове середнє. Вибірковим середнім називається середнє арифметичне всіх значень величини, що зустрічаються у вибірці.
Якщо вибіркове середнє обчислюється по несгруппірованних даними, то для його визначення суму всіх значень ділять на кількість елементів у вибірці:
Приклад. Обчислити середнє значення маси тіла дівчаток 6 років.
Якщо вибіркове середнє обчислюється по вариационному ряду, то знаходять суму творів варіант на відповідні частоти, і ділять на кількість елементів у вибірці.
Приклад. Обчислити середнє значення маси тіла дівчаток 6 років (ранжируваних ряд - 22 23 23 24 24 25 25 25 26 27).
У тому випадку, коли статистичні дані представлені в вигляді інтервального варіаційного ряду, при обчисленні вибіркового середнього значеннями варіант вважають середини інтервалів.
Приклад: обчислити середнє значення маси тіла жінок 30 років.
Вибіркове середнє є основною характеристикою положення, показує центр розподілу сукупності, дозволяє охарактеризувати досліджувану сукупність одним числом, простежити тенденцію розвитку, порівняти різні сукупності.
Непараметричних характеристиками положення є мода і медіана. Модою називається варіанта, що має найбільшу частоту (для останнього прикладу мода дорівнює 67,5).
Медианой називається варіанта, розташована в центрі рангового ряду. Якщо ряд складається з парного числа варіант, то медіаною вважають середнє арифметичне двох варіант, розташованих в центрі рангового ряду.
Приклад: знайти моду і медіану вибіркової сукупності по масі тіла дівчаток 6 років