1. Повна ймовірність
Математики не вигадують нові закономірності - вони їх відкривають. Міркування такого роду призводять до того, що наш світ сповнений закономірностей, і покликанням людини розумної є їх відкриття. Привабливо висловлювання з цього приводу Ейнштейна:
«Ми подібні маленькій дитині, що зайшов в величезну бібліотеку, стіни якої забиті книгами на різних мовах до стелі. Дитина розуміє, що хтось повинен був написати ці книги. Ми бачимо, що Всесвіт влаштована дивно, підпорядковується певним законам. »
Відповідно, у кожного наукового міркування повинна бути основа, на якій воно побудовано. Основа теореми Томаса Байеса - повна ймовірність, з якою, мабуть, і слід почати.
Розглянемо приклад з книги «Елементарне введення в теорію ймовірностей» (Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин).
Припустимо, що електричні лампочки виробляються на двох заводах, причому перший з них поставляє 70%. а другий 30% всієї споживаної продукції. З кожних ста лампочок першого заводу в середньому 83 стандартних (належної якості), а зі ста лампочок другого заводу - лише 63 стандартних.
Приймемо такі позначення:
А - лампочка стандартної якості;
Ā - лампочка нестандартного якості;
Е - лампочка виготовлена першим заводом;
Ē - лампочка виготовлена другим заводом.
Знайдемо ймовірність того, що навмання вибрана лампочка виявиться належної якості і що вона була виготовлена другим заводом. З умови видно, що другим заводом на кожну 1000 виготовляється 300 лампочок, з яких 189 стандартних; маємо:
Аналогічно ймовірність стандартної якості лампочки за умови її виготовлення першим заводом:
Тепер же знайдемо безумовну ймовірність того, що навмання вибрана лампочка стандартної якості. Щоб вирішити це завдання, міркувати потрібно так. Припустимо, що подія M полягає в тому, що лампочка випущена першим заводом і вона стандартної якості; подія F полягає в тому, що лампочка випущена другим заводом і вона стандартної якості. Очевидно, що навмання вибрана лампочка буде виготовлена або першим, або другим заводом; відповідно, при зазначеному випробуванні обов'язково настане одне з двох подій: М або F. Покажемо це на мові математики:
За правилом додавання, відповідно до якого ймовірність настання одного з декількох несумісних подій дорівнює їх сумі, знаходимо:
Далі необхідно знайти величини P (M) і P (F). Зробимо це таким чином. Для настання події M необхідне виконання таких умов: 1) лампочка виготовлена першим заводом (Е) і 2) лампочка стандартна (А); виконання подібних умов необхідно і для настання події F. Але так як правило множення говорить, що ймовірність спільного настання двох подій дорівнює добутку ймовірності безумовного настання першої події на умовну ймовірність настання другої події (за умови, що перша подія вже відбулося), маємо:
Підставляючи (2) і (3) в (1), отримуємо повну ймовірність настання події A для даного завдання: