Вещественнозначная функція, певна на деякому інтервалі (в загальному випадку на опуклому підмножині деякого векторного простору), опукла, якщо для будь-яких двох значень аргументу x. y і для будь-якого числа t ∈ [0. 1] виконується нерівність Йєнсена:
Якщо ця нерівність є строгим для всіх t ∈ (0. 1) і x ≠ y. то функція називається строго опуклою; якщо виконується зворотне нерівність, функція називається увігнутою. або опуклою вгору.
- Функція f. опукла на інтервалі I>. неперервна на всьому I>. дифференцируема на всьому I> за винятком не більше ніж рахункового безлічі точок і двічі диференційовна майже всюди.
- Будь-яка опукла функція є субдіфференціруемой (має субдиференціал) на всій області визначення.
- У опуклою функції через будь-яку точку проходить опорна гіперплоскость її надграфік.
- Безперервна функція f опукла на I> тоді і тільки тоді, коли для всіх точок x. y ∈ I> виконується нерівність f (x + y 2) ≤ f (x) + f (y) 2> \ right) \ leq >>
- Безперервно диференціюється функція однієї змінної опукла на інтервалі тоді і тільки тоді, коли її графік лежить не нижче дотичній (опорної гіперплощини), проведеної до цього графіку в будь-якій точці проміжку опуклості.
- Опукла функція однієї змінної на інтервалі має ліву і праву похідні; ліва похідна в точці ≥ правої похідною; похідна опуклою функції - неубутна функція.
- Двічі диференціюється функція однієї змінної опукла на інтервалі тоді і тільки тоді, коли її друга похідна неотрицательна на цьому інтервалі. Якщо друга похідна двічі диференціюється строго позитивна, така функція є строго опуклою, проте зворотне невірно (наприклад, функція f (x) = x 4> строго опукла на [- 1. 1]. Але її друга похідна в точці x = 0 дорівнює нулю).
- Якщо функції f. g опуклі, то будь-яка їх лінійна комбінація a f + b g з позитивними коефіцієнтами a. b також опукла.
- Локальний мінімум опуклої функції є також глобальним мінімумом (відповідно, для опуклих вгору функцій локальний максимум є глобальним максимумом).
- Будь-яка стаціонарна точка опуклої функції буде глобальним екстремумів.
- Для опуклих функцій виконується нерівність Йєнсена:
де X - випадкова величина зі значеннями в області визначення функції f. E - математичне очікування.