Підказка до 436 б) - схоже завдання. Чётов пише на дошці одне ціле число, а потім Нечётов - інше. Якщо їх сума парна, то переможцем оголошується Чётов, якщо непарна, то Нечётов. Чи може один з них грати так, щоб неодмінно виграти?
Рішення. Припустимо, що Чётов назвав парне число. Тоді, щоб виграти, Нечётову досить назвати непарне число, наприклад, 1. Якщо ж Чётов назвав непарне число, то Нечётов виграє, назвавши парне число, наприклад, 0. Таким чином, алгоритм, завжди приводить до виграшу в цій грі є у Нечётова.
Підказка до завдань 490 та 493 - схоже завдання 494.
494. Дано числа 1, 2, 3,4,5,6. Дозволено до будь-яких двох з них додати по одиниці. Чи можна за кілька кроків зрівняти ці числа?
Рішення. Додаток до числа одиниці змінює його парність. Додаток по 1 до двох числах змінює парність двох чисел. Якщо це були два парних числа, то парних
чисел стане на два менше, якщо два непарних, то парних стане на два більше. А якщо одне було парне, а інше непарне, то кількість парних чисел не зміниться. У будь-якому випадку парність числа парних чисел не зміниться. Іншими словами, тут парність числа парних чисел - інваріант. Але якщо в шістці все числа стануть однакові, парних серед них стане 0 або 6 - парне число.
Підказка до 448. Знайдіть інваріант.
450. В забігу брали участь 3 бігуна: Іванов, Петров і Сидоров. Перед забігом 4 вболівальника дали такі 4 прогнозу:
- Переможе Іванов.
- Сидоров обжене Петрова.
- Петров фінішує наступним після Іванова.
- Сидоров не переможе.
Після забігу виявилося, що серед прогнозів було парне число вірних. У якому порядку фінішували бігуни?
Підказка. Оскільки важко робити які-небудь висновки, не знаючи, які саме прогнози вірні, раджу спробувати вирішити задачу повним перебором, тим більше що перебрати доведеться всього 6 варіантів (3 варіанти переможця комбінуються з двома варіантами того, хто з інших учасників на другому місці). Заповніть самостійно таблицю. Варіанти будемо позначати трійками, що складаються з перших літер прізвищ. Переможця записуємо на першому зліва місці, прибіг останнім - на останньому зліва.
Підрахуйте, скільки всього чорних і скільки білих кубиків в кубах 3 * 3 і 13 * 13. якщо не брати до уваги центральний кубик. Зробіть висновки. У тому випадку, якщо висновок про неможливість робити рано, спробуйте довести "Може". Для цього спробуйте знайти і намалювати на шарах правильний шлях миші. Не забувайте, що коли мишка переходить з шару в шар, вона переходить в кубик, що лежить точно над або точно під вихідним.
Завдання, схожа на 466. На окружності взяті 4 точки. Чи можна так побудувати кілька трикутників з вершинами в цих точках, щоб кожен відрізок з кінцями у двох з цих точок став стороною рівно одного з цих трикутників.
Рішення. Наведемо такий спосіб вирішення, який корисний і для більшого числа точок, наприклад, для ста точок. Позначимо точки буквами A, B, C, D.Через точку А потрібно провести 3 відрізка. (Звернемо увагу на те. Що це число непарне.) Але в кожному трикутнику з вершиною А парне число (дві) сторін, що виходять з А. Значить необхідну побудова неможливо.
471. Чи можна з п'яти фігур
скласти прямокутник розміром 4 * 5?
Підказки. Трохи формулюємо завдання: чи можна розрізати прямокутник 4 * 5 на такі п'ять фігур?
Припустимо, що ми це зробили. Розфарбуйте прямокутник як шахову дошку. Скільки на ній чорних і скільки білих клітин? А скільки їх на кожній з фігур? На всіх разом?
Підказка до 472. Прочитайте підказки до 458. 476. На яку найменшу кількість прямокутників можна розрізати дану фігуру?
501.У царя Микити було 45 синів. Він заповів їм розділити між собою таким чином, щоб землі кожного з них межували з землями рівно 3 або 7 його братів. Задумалися брати. Чи зможуть вони виконати волю батька?
Підказка. Завдання зводиться до задачі 500. Допустите, що волю батька виконати вдалося. Помістіть на землю кожного брата марсіанина, у якого стільки рук, зі скількома землями у цієї ділянки є кордону, причому руки досить довгі, щоб він міг взятися за руки з марсіанами з усіх земель, що мають з ним спільний кордон.
502. Не існує опуклого багатогранника, у якого число граней непарній, а кожна грань має непарне число вершин. Доведіть це.
Підказка. У кожній вершині сходяться кілька граней, тому мати справу з вершинами незручно. Але у межі стільки ж вершин, скільки сторін, тобто ребер. Замініть в умови "вершин" на "ребер". Завдання, подібно задачі 501, відразу зводиться до задачі 500.
504. Квадрат розрізали на прямокутники так, що ніяка точка квадрата не опинилася вершиною відразу чотирьох прямокутників. Доведіть, що число точок квадрата, що є вершинами прямокутників, парно.
Підказка. Зауважте, що якщо вершина, відмінна від вершин самого квадрата, є вершиною не більше трьох прямокутників, то, так як випадки, коли вона є вершиною рівно одного або рівно трьох прямокутників, неможливі, вона є вершиною рівно двох прямокутників. А тепер підрахуйте двома способами число всіх прямих кутів всіх прямокутників, на які розрізаний квадрат. Зверніть увагу, що це число повинне бути не тільки парним, а й кратним 4. (Чому?)
505. В якійсь країні міста пов'язані авіалініями (з двостороннім рухом). Зі столиці виходить тисячу дев'ятсот вісімдесят одна лінія, з міста Далекий -1 авіалінія, а з інших міст - по 20 авіаліній. Доведіть, що зі столиці можна долетіти до Далекого (можливо, з пересадками).
Підказка. Якщо спробувати звести цю задачу до задачі 500, помістивши в кожному місті по марсіанинові з таким числом довгих рук, скільки ліній виходить з міста, то нічого не вийде, так як марсіан з непарним числом рук буде двоє - парне число. Але що якщо помістити марсіан тільки в ті міста, до яких можна долетіти зі столиці? Тоді у столичного марсіанина будет1981 рука, а у всіх інших, якщо тільки вони знаходяться не в Далекому - по 20, тому що якщо зі столиці можна долетіти до якогось міста, то можна з пересадками долетіти і до всіх міст, пов'язаних з ним авіалініями.
Програмна частина / дизайн:
Соловйов П.М.