Визначення. Правої (лівої) похідної функції f (x) в точці х = х0 називається праве (ліве) значення межі відносини за умови, що це ставлення існує.
Якщо функція f (x) має похідну в деякій точці х = х0. то вона має в цій точці односторонні похідні. Однак, зворотне твердження не так. По-перше функція може мати розрив в точці х0. а по-друге, навіть якщо функція неперервна в точці х0. вона може бути в ній не диференційована.
Приклад: f (x) = ïx ï - має в точці х = 0 і ліву і праву похідну, неперервна в цій точці, однак, не має в ній похідною.
Теорема (необхідна умова існування похідної) Якщо функція f (x) має похідну в точці х0. то вона неперервна в цій точці.
Зрозуміло, що ця умова не є достатнім.
Основні правила диференціювання
1. Похідна константи дорівнює нулю, тобто . де С - const.
2. Похідна аргументу дорівнює 1, тобто .
3. Похідна алгебраїчній суми кінцевого числа функцій, що диференціюються дорівнює такій же сумі похідних цих функцій, тобто
4. Похідна добутку двох диференційовних функцій:
Слідство. Постійний множник можна виносити за знак похідної:. де С - const.
5. Похідна частки двох функцій, що диференціюються:
за умови, що .
6. Похідна складної функції, де, де y і u - диференціюються своїх аргументів, дорівнює
Теорема. Для диференціюється з похідною, не дорівнює нулю, похідна оберненої функції дорівнює зворотній величині похідної даної функції, тобто .
Похідні основних елементарних функцій
Похідна логарифмічної функції:
Похідна показовою функції:
Похідна статечної функції:
Похідні тригонометричних і зворотних трігономнтріческіх функцій:
Похідна неявної функції виходить диференціюванням обох частин рівняння, розглядаючи y як функцію від x. а потім з отриманого рівняння знаходиться:
Приклади. Знайти похідні функцій:
4). Перетворимо цю функцію, розкриваючи дужки:. .
5) За формулою диференціювання складної функції маємо. де - похідна аргументу функції синус.
6). Ця функція може бути представлена у вигляді. Звідси
7) Цю функцію зручно перетворити, користуючись властивостями логарифмів:. Тоді.
Похідні вищих порядків
Похідна називається похідною 1-го порядку. Однак похідна сама є функцією, яка також може мати похідну.
Похідною n -го порядку називається похідна від похідної (n -1) -го порядку.
Позначається: і т.д.
Механічний сенс 2-й похідної: 2-а похідна шляху в часі дорівнює прискоренню точки в момент.