Бачимо, що якщо число є повним квадратом, то послідовність з теореми, починаючи з якогось місця, стає циклічною - вона «стрибає» між числами і.
[2]. Написано число. Між цифрами і вставили. в отримане число між цифрами і знову вписали і т.д. Довести, що всі отримані таким чином числа будуть точними квадратами.
Ідейною основою алгоритму, викладеного в теоремі, є метод Ньютона рішення нелінійного рівняння. При деяких умовах на функцію і стартове значення итерационная послідовність
буде монотонно сходитися до кореня рівняння. Легко перевірити, що послідовність з теореми є просто «округленням до цілого» послідовності методу Ньютона, складеної для вирішення рівняння. У більшості випадків таке усічення відбувається безкарно; проте іноді все ж призводить до циклічності итерационной послідовності.
Зрозуміло, ідею методу Ньютона можна використовувати і для вирішення більш складних завдань, наприклад, для обчислення при 2 "width =" 42 "height =" 17 "/>. Наведемо відповідний результат для випадку.
Теорема.Пусть - довільне ціле таке, чтоB> 1 "width =" 87 "height =" 26 "/>. Послідовність
монотонно убуваючи, зійдеться за кінцеве число кроків до значення.
[2]. Шмулевич П.К.Сборнік' задач', що пропонувалися на конкурсних' екзаменах' при поступленiі Вь спецiaльния висшiя учебния заведенiя. Частина II. Алгебра. Ізданiе VIII. С.-Петербург. 1915. (Інші завдання з цього джерела см. ☞ ТУТ).