Нормальна підгрупа

визначення

підгрупа N групи G називається нормальною. якщо вона інваріантна щодо сполучень, тобто для будь-якого елемента n з N і будь-якого g з G елемент g n g ^ лежить в N:

N \ triangleleft G \, \ iff \, \ forall \, n \ in N, \ forall \ g \ in G gng ^ \ in

Наступні умови нормальності підгрупи еквівалентні:

  1. для будь-якого g з G gNg ^ \ sube N.
  2. для будь-якого g з G gNg ^ = N.
  3. Безлічі лівих і правих суміжних класів N в G збігаються.
  4. для будь-якого g з G gN = Ng.
  5. N ізоморфна об'єднання класів сполучених елементів.

Умова (1) логічно слабше, ніж (2), а умова (3) логічно слабше, ніж (4). Тому умови (1) і (3) часто використовуються при доведенні нормальності підгрупи, а умови (2) і (4) використовуються для доказу наслідків нормальності.

  • \ і G - завжди нормальні підгрупи G. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група G називається простий.
  • Центр групи - нормальна підгрупа.
  • Коммутант групи - нормальна підгрупа.
  • Будь-яка характеристична підгрупа нормальна, так як поєднання - це завжди автоморфизм.
  • всі підгрупи N абельовой групи G нормальні, так як g N = N g. Неабелева група, у якій будь-яка підгрупа нормальна, називається гамильтоновой.
  • Група паралельних перенесень в просторі будь-якої розмірності - нормальна підгрупа евклідової групи; наприклад, в тривимірному просторі поворот, зсув і поворот у зворотний бік призводить до простого зсуву.
  • У групі кубика Рубіка підгрупа, що складається з операцій, що діють тільки на кутові елементи, нормальна, так як ніяке поєднане перетворення не змусить таку операцію діяти на крайовий, а не кутовий елемент. Навпаки, підгрупа, що складається лише з поворотів верхньої межі, що не нормальна, так як сполучення дозволяють перемістити частини верхньої межі вниз.
  • Нормальність зберігається при сюрьективно гомоморфізми і взяття зворотних образів.
  • Ядро гомоморфізму - нормальна підгрупа.
  • Нормальність зберігається при побудові прямого твори.
  • Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не зобов'язана бути нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивній. Однак характеристична підгрупа нормальної підгрупи нормальна.
  • Кожна підгрупа індексу 2 нормальна. якщо p - найменший простий дільник порядку G, то будь-яка підгрупа індексу p нормальна.
  • якщо N - нормальна підгрупа в G, то на безлічі лівих (правих) суміжних класів G / N можна ввести групову структуру за правилом
(G_1 N) (g_2 N) = (g_1 g_2) N Отримане безліч називається Факторгруппа G по N.
  • N нормальна тоді і тільки тоді, коли вона тривіально діє на лівих суміжних класах G / N.

Історичні факти

Еваріст Галуа першим зрозумів важливість нормальних підгруп.

Напишіть відгук про статтю "Нормальна підгрупа"

Уривок, що характеризує Нормальна підгрупа

Не доїжджаючи государя, Ростов, відмінний їздець, два рази всадив шпори своєму бедуїнів і довів його щасливо до того шаленого алюру рисі, якою ходив розпалений Бедуїн. Підігнувши пінливу морду до грудей, відокремивши хвіст і як ніби летячи на повітрі і не торкаючись до землі, граціозно і високо підкидаючи і змінюючи ноги, Бедуїн, теж почував на собі погляд государя, пройшов чудово.
Сам Ростов, заваливши назад ноги і підібравши живіт і відчуваючи себе одним шматком з конем, з похмурим, але блаженним особою, чортом. як говорив Денисов, проїхав повз государя.
- Молодці павлоградці! - промовив государ.
"Боже мій! Як би я щасливий був, якби він велів мені зараз кинутися в вогонь », подумав Ростов.
Коли огляд скінчився, офіцери, новоприбулі і кутузовського, стали сходитися групами і почали розмови про нагороди, про австрійців і їх мундирах, про їх фронті, про Бонапарта і про те, як йому погано доведеться тепер, особливо коли підійде ще корпус Ессена, і Пруссія прийме нашу сторону.
Але більш за все у всіх гуртках говорили про государя Олександра, передавали кожне його слово, рух і захоплювалися ім.
Все тільки одного бажали: під проводом государя швидше йти проти ворога. Під командою самого государя не можна було не перемогти кого б то не було, так думали після огляду Ростов і більшість офіцерів.
Все після огляду були впевнені в перемозі більше, ніж би могли бути після двох виграних битв.


На другий день після огляду Борис, одягнувшись в кращий мундир і навчена побажаннями успіху від свого товариша Берга, поїхав в Ольмюц до Болконскому, бажаючи скористатися його ласкою і влаштувати собі найкраще положення, особливо положення ад'ютанта при важливому особі, що здавалося йому особливо привабливим в армії . «Добре Ростову, якого батько надсилає по 10 тисяч, міркувати про те, як він нікому не хоче кланятися і ні до кого не піде в лакеї; але мені, нічого не має, крім своєї голови, треба зробити свою кар'єру і не упускати випадків, а користуватися ними ».
У Ольмюце він не застав в цей день князя Андрія. Але вид Ольмюца, де стояла головна квартира, дипломатичний корпус і жили обидва імператора з своїми свитами - придворних, наближених, тільки більше посилив його бажання належати до цього верховному світу.
Він нікого не знав, і, незважаючи на його франтівською гвардійський мундир, всі ці вищі люди, що снували по вулицях, в чепурних екіпажах, плюмажами, стрічках і орденах, придворні і військові, здавалося, стояли так незрівнянно вищий його, гвардійського офіцерика, що ні тільки не хотіли, але і не могли визнати його існування. У приміщенні головнокомандувача Кутузова, де він запитав Болконського, всі ці ад'ютанти і навіть денщики дивилися на нього так, як ніби бажали вселити йому, що таких, як він, офіцерів дуже багато сюди вештається і що вони все вже дуже набридли. Незважаючи на це, чи радше внаслідок цього, на інший день, 15 числа, він після обіду знову поїхав в Ольмюц і, увійшовши в дім, яку він обіймав Кутузовим, запитав Болконського. Князь Андрій був удома, і Бориса провели у велику залу, в якій, ймовірно, перш танцювали, а тепер стояли п'ять ліжок, різнорідна меблі: стіл, стільці і клавікорди. Один ад'ютант, ближче до дверей, в перській халаті, сидів за столом і писав. Інший, червоний, товстий Несвицкий, лежав на ліжку, підклавши руки під голову, і сміявся з присів до нього офіцером. Третій грав на клавікордах віденський вальс, четвертий лежав на цих клавікордах і підспівував йому. Болконського не було. Ніхто з цих панів, помітивши Бориса, не змінив свого положення. Той, який писав, і до якого звернувся Борис, з досадою обернувся і сказав йому, що Болконський черговий, і щоб він йшов наліво в двері, в приймальню, коли йому потрібно бачити його. Борис подякував і пішов до приймальні. У приймальні було чоловік десять офіцерів і генералів.

Схожі статті