Спасибі, що читаєте і діліться з іншими
При вирішенні імовірнісних задач часто доводиться стикатися з ситуаціями, в яких один і той же випробування повторюється багаторазово і результат кожного випробування незалежний від результатів інших. Такий експеримент ще називається схемою повторних незалежних випробувань або схемою Бернуллі.
Приклади повторних випробувань:
1) багаторазове витяг з урни одного кулі за умови, що вийнятий кулю після реєстрації його кольору кладеться назад в урну;
2) повторення одним стрільцем пострілів по одній і тій же мішені за умови, що ймовірність вдалого попадання при кожному пострілі приймається однаковою (роль пристрілки не враховується).
Отже, нехай в результаті випробування можливі два результати. або з'явиться подія А. або протилежне йому подія. Проведемо n випробувань Бернуллі. Це означає, що всі n випробувань незалежні; ймовірність появи події $ А $ в кожному окремо взятому або одиничному випробуванні постійна і від випробування до випробування не змінюється (тобто випробування проводяться в однакових умовах). Позначимо ймовірність появи події $ А $ в одиничному випробуванні буквою $ р $, тобто $ P = P (A) $, а ймовірність протилежної події (подія $ А $ не настав) - буквою $ q = P (\ overline) = 1-p $.
Тоді ймовірність того, що подія А з'явиться в цих n випробуваннях рівно k раз, виражається формулою Бернуллі
$$ P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot q ^, \ quad q = 1-p. $$
Розподіл числа успіхів (появ події) носить назву біноміального розподілу.
Онлайн-калькулятори на формулу Бернуллі
Приклади рішень завдань на формулу Бернуллі
Приклад. В урні 20 білих і 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожен вийнятий кулю повертають в урну перед витяганням наступного і кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що з чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білих.
Рішення. Подія А - дістали білу кулю. тоді ймовірності
, .
За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
.
Приклад. Визначити ймовірність того, що в родині, яка має 5 дітей, буде не більше трьох дівчаток. Ймовірності народження хлопчика і дівчинки передбачаються однаковими.
Рішення. Імовірність народження дівчинки
, тоді.
Знайдемо ймовірності того, що в сім'ї немає дівчаток, народилася одна, дві або три дівчинки:
Отже, шукана ймовірність
Приклад. Серед деталей, оброблюваних робочим, буває в середньому 4% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед узятих на випробування 30 деталей дві будуть нестандартними.
Рішення. Тут досвід полягає в перевірці кожної з 30 деталей на якість. Подія А - «поява нестандартної деталі», його ймовірність, тоді. Звідси по формулі Бернуллі знаходимо
.
Приклад. При кожному окремому пострілі з гармати ймовірність ураження цілі дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20 пострілів число вдалих буде не менше 16 і не більше 19.
Рішення. Обчислюємо за формулою Бернуллі:
Приклад. Незалежні випробування тривають до тих пір, поки подія А не відбудеться k раз. Знайти ймовірність того, що буде потрібно n випробувань (n ³ k), якщо в кожному з них.
Рішення. Подія В - рівно n випробувань до k -го появи події А - є твір двох наступний подій:
D - в n-му випробуванні А сталося;
С - в перших (n-1) -му випробуваннях А з'явилося (к-1) раз.
Теорема множення і формула Бернуллі дають необхідну ймовірність:
Треба зауважити, що використання біноміального закону часто пов'язано з обчислювальними труднощами. Тому зі зростанням значень n і m стає доцільним застосування наближених формул (Пуассона. Муавра-Лапласа), які будуть розглянуті в наступних розділах.
Ви можете замовити приклади з теорії ймовірності