Визначення: Якщо нерівність f (x; a)>, <, ≤, ≥ 0 надо решить относительно переменной x, а буквой a обозначено произвольное действительное число, то выражение f(x; a)>, <, ≤, ≥ 0 называют неравенством с параметром а.
Вирішити нерівність з параметром- значить знайти всі значення параметрів, при яких дане нерівність має рішення.
Розглянемо хід міркувань при вирішенні деяких рівнянь і нерівностей з параметрами.
Знайти рішення нерівності при всіх значеннях параметра a:
Перетворюючи нерівність, отримаємо:
Залежно від значення а, можливі три випадки рішення:
Знайти рішення нерівності при всіх значеннях параметра a:
5х - а> ax + 3
Для початку перетворимо вихідне нерівність.
5х - ах> a + 3
винесемо за дужки х в лівій частині нерівності:
x (5 - а)> a + 3
Можливі три варіанти вирішення нерівності:
Знайти рішення нерівності при всіх значеннях параметра a:
x 2 - 2ax + 4> 0
Рішення. Знаходимо дискримінант квадратного тричлена x 2 - 2ax + 4
D1 = a 2 - 4
Можливі три варіанти розташування параболи y = x 2 - 2ax + 4, зображені на малюнку (зліва направо йдуть випадки D1> 0, D1 = 0 і D1 <0).
Нехай D1> 0, тобто a <−2 или a> 2.
Тоді парабола перетинає вісь X в двох точках:
Безліч рішень нерівності складається з тих x, при яких y> 0 (адже саме такий знак решаемого нерівності); тобто з тих x, при яких графік проходить вище осі абсцис:
Нехай тепер D1 = 0, тобто a = ± 2. Парабола стосується осі X в точці x = a; безліч рішень нашого нерівності - все x за винятком точки a.
Нарешті, нехай D1 <0, то есть −2
Знайти рішення нерівності при всіх значеннях параметра a: Рішення: Знаходимо корені нерівності Розглянемо три випадки: a <1, a = 1, a> 1 якщо a <1, тогда график будет выглядеть следующим образом: Якщо a = 1, то в точці x = 1 утворюється петля:Схожі статті