Предмет математики настільки серйозний, що не можна марнувати нагоду зробити його трохи цікавим.
Математика - це особливий світ, в якому провідну роль відіграють формули. У цьому проекті ми вирішили представити: Що станеться, якщо з математики прибрати формули?
- «Нестандартні» (олімпіадні) завдання;
- дуже цікава історія цієї області знання;
- специфічний математичний гумор;
- забавні головоломки і софізми;
- математичні байки і анекдоти;
- та ін. та ін. (список відкритий).
У цьому звіті представлено один з важливих розділів проекту «математики без формул» - Логічні завдання та способи їх вирішення.
Що ми зробили, працюючи над проектом?
Багато людей тільки мислять, що мислять. Їм неприємний розумовий процес: для цього потрібен навик і відомі зусилля, а навіщо зусилля, коли можна без.
Логічні або нечислові завдання становлять великий клас нестандартних завдань. Сюди відносяться, перш за все, текстові завдання, в яких потрібно розпізнати об'єкти або розташувати їх в певному порядку за наявними властивостями. При цьому частина тверджень умови задачі може виступати з різним істінностной оцінкою (бути істинною або помилковою). До класу логічних задач відносяться також завдання на переливання і зважування (фальшиві монети і т.п.).
Перед нами була поставлені наступні цілі та завдання:
- Ознайомитись з основними способами вирішення логічних завдань;
- На прикладах конкретних завдань з'ясувати: Які методи більш ефективні?
- Підготувати і зробити повідомлення на засіданні математичного гуртка;
- Підготувати добірку завдань для стіннівки в розділ «Конкурс».
Наша дослідницька група зібрала велику кількість завдань. Всі вони знайдені в Інтернеті або в популярних математичних журналах. Ми також знайшли основні методи, за допомогою яких такі завдання вирішуються і склали довідник або керівництво з розв'язування логічних задач. Його ми і пропонуємо в якості нашого звіту.
Як ми навчилися вирішувати логічні завдання?
Теорія, мій друг, суха, але зеленіє життя древо.
У використовуваної нами літературі і електронних джерелах ми знайшли такі основні прийоми вирішення логічних завдань. Кожен з цих способів, звичайно, підходить до певного типу завдань і працює більш ефективно для окремого класу задач. Ми назвали ці методи так:
- Метод міркувань;
- Метод таблиць;
- Метод графів;
- Метод блок-схем;
- Метод більярду;
- Метод кіл Ейлера.
Зупинимося окремо на кожному з виділених методів, ілюструючи їх прикладами розв'язання конкретних задач.О переваги та недоліки кожного методу можна дізнатися, заглянувши в відповідний приклад-іллюстацію нижче.
На всякого мудреця досить простоти.
Спосіб міркувань - найпримітивніший спосіб. Цим способом вирішуються найпростіші логічні задачі. Його ідея полягає в тому, що ми проводимо міркування, використовуючи послідовно всі умови задачі, і приходимо до висновку, що і буде відповіддю завдання. Познайомитися з цим методом можна на наступному прикладі.
Спочатку вирок, потім доказ.
Основний прийом, який використовується при вирішенні текстових логічних задач, полягає в побудові таблиць. Таблиці не тільки дозволяють наочно уявити умову задачі або її відповідь, але в значній мірі допомагають робити правильні логічні висновки в результаті виконання завдання. Запрошуємо познайомитися з прикладом вирішення конкретного завдання методом таблиць.
Як без математичних наук проводить свої лінії павук.
У цьому розділі розглядається ще один тип логічних задач. Це завдання, в яких за допомогою судин відомих ємностей потрібно відміряти певну кількість рідини, а також завдання, пов'язані з операцією зважування на чашкових вагах. Найпростіший прийом вирішення завдань цього класу полягає в переборі можливих варіантів. Зрозуміло, що такий метод рішення не зовсім вдалий, в ньому важко виділити якийсь загальний підхід до вирішення інших подібних завдань.
Більш систематичний підхід до вирішення завдань "на переливання" полягає в використанні блок-схем. Суть цього методу полягає в наступному. Спочатку виділяються операції, які дозволяють нам точно відміряти рідина. Ці операції називаються командами. Потім встановлюється послідовність виконання виділених команд. Ця послідовність оформляється у вигляді схеми. Подібні схеми називаються блок-схемами і широко використовуються в програмуванні. Складена блок-схема є програмою, виконання якої може привести нас до вирішення поставленого завдання. Для цього достатньо відзначати, які кількості рідини вдається отримати при роботі складеної програми. При цьому зазвичай заповнюють окрему таблицю, в яку заносять кількість рідини в кожному з наявних судин.
Тут наводиться два приклади розв'язання задачі на переливання і на зважування. Приклади розв'язання задач.
Перш ніж вирішувати задачу, подума, що робити з її рішенням!
Сподіваємося, що Вам відома гра більярд за прямокутним столом з лузами. З'явившись до нашої ери в Індії і Китаї, більярд через багато століть перекочував в європейські країни - згадка про нього є в англійських літописах VI століття. У Росії більярд став відомий і поширився за Петра I. Подібно до того, як азартна гра в кості викликала до життя "обчислення" ймовірностей, гра в більярд послужила предметом серйозних наукових досліджень з механіки і математики. Уявіть собі горизонтальний більярдний стіл довільної форми, але без луз. З цього столу без тертя рухається точковий куля, абсолютно пружно відбиваючись від бортів столу. Питається, який може бути траєкторія цієї кульки? Пошуки відповіді на це питання і послужили появи теорії математичного більярду або теорії траєкторій.
У цьому розділі ми наведемо одне витончене застосування математичного більярду до вирішення завдань на переливання. Загляньте обов'язково в приготований нами премєр вирішення завдань з допомогою гри в більярд. Приклади розв'язання задач.
Предмет математичної логіки і його основоположники
Найпрекрасніше, що ми можемо випробувати - це відчуття таємниці. Вона є джерело всякого справжнього мистецтва і науки.
Слово "логіка" грецького походження. Логіка як наука заснована Арістотерем (384-320 рр до н.е.), який був незвичайною фігурою в цілій плеяді блискучих грецьких вчених. Він був послідовником Платона і відвідував його Академію в Афінах. Після смерті Платона (347 р.до н.е.) Арістотельпокінул Афіни. Він повернувся туди 12 років по тому і заснував свою школу - Ліцей. Одним з учнів Аристотеля був Олександр Великий.
Аристотель не був математиком в повному сенсі цього слова, його логіка є скоріше частиною філософії, але ця частина - основа всіх наук. У своєму видатному творі "Аналітики" Аристотель створив і перевірив близько 20 схем міркувань, які назвав силогізмами. Процитуємо найвідоміший силогізм: "Сократ - людина; все люди смертні; значить Сократ смертний". Після Аристотеля силогізми і їх трансформації стали основою дедуктивних міркувань. Галілей говорив, що якби йому довелося почати знову своє майбутнє, то він пішов би раді Платона і "взявся б спершу за математику як науку, що вимагає точності і приймаючу за вірне те, що випливає як наслідок з доведеного".
Назвемо найвідоміші роботи Буля (1815-1864): "Формальна логіка", "Дослідження законів думки". Буль вводить в логіку алгебраїчну структуру, яка називається сьогодні кільце Буля. дві операції, властивості яких в чомусь подібні до властивостей операції з числами (наприклад, 1 + 0 = 1), і в чомусь розходяться з ними (наприклад, 1 + 1 = 1). Це дозволило описати логіку висказиваніц як формальну алгебраїчну структуру.
Інший математик, А. де Морган, ввів квантори (не називаючи їх) і зробив поаитку формального визначення структур, поздовж роботу, розпочату Булем.
Скарбничка цікавих завдань і головоломок
Розсіяний, спокійний, як математик ...
Напевно кожна людина зустрічався в житті хоча б з одним завданням або головоломкою, яка йому сподобалася і запам'яталася. В рамках роботи над проектом ми вирішили провести акцію: "Моя улюблена завдання". Звертаємося до всіх гостей нашої сторінки заглянути в блог. який ми створили і залишити в ньому повідомлення про Вашої улюбленої завданню. Будемо дуже вдячні!
Крім цього ми приготували невелику добірку завдань, які можуть бути використані нашою командою при підготовці до олімпіади і до математичного бою. Ось ці завдання!
І, нарешті, ось зразки завдань. які можуть бути використані в конкурсі "Математичний бій". Він скоро відбудеться - тренуйтеся!
Основні підсумки роботи над проектом
Математичні науки, природничі науки і гуманітарні науки можуть бути названі, відповідно, науками надприродними, природними і неприродними.
Вирішувати логічні завдання дуже захоплююче. У них начебто немає ніякої математики - немає ні чисел, ні функцій, ні трикутників, ні векторів, а є тільки брехуни і мудреці, істина і брехня. У той же час дух математики в них відчувається найяскравіше - половина вирішення будь-якої математичної задачі (а іноді і набагато більше половини) полягає в тому, щоб як слід розібратися в умови, розплутати всі зв'язки між що беруть участь об'єктами.
Є люди, для яких рішення логічного завдання - захоплююча. але нескладне завдання. Їх мозок як промінь прожектора відразу висвітлює всі хитромудрі побудови, і до правильної відповіді він приходить надзвичайно швидко. Чудово, що при цьому він і не можуть пояснити, як вони прийшли до рішення. "Ну це ж очевидно, ясно", - кажуть вони. "Адже якщо." - і вони починають легко розплутувати клубок суперечливих висловлювань. "Дійсно, все ясно", - говорить слухач, засмучений тим, що він сам не побачив очевидного міркування. Погодьтеся, що таке ж відчуття часто виникає при читанні детективів.
Використані джерела і ресурси
В математиці немає символів для неясних думок
При роботі над проектом ми використовували багато різних джерел. Це перш за все сторінки в Інтернет, присвячені цікавим завданням і головоломок. Це також книги і журнали. Ми хочемо представити окремо следующии матеріали: