У тих випадках, коли тверде тіло обертається навколо нерухомої осі, зазвичай оперують з поняттями моменту імпульсу і моменту інерції щодо осі. Момент імпульсу відносно осі - це проекція на дану вісь моменту імпульсу L. певного щодо деякої точки О, що належить осі, причому, як виявляється, вибір точки О на осі значення не має.
Дійсно, при обчисленні суттєво лише плече імпульсу відносно осі обертання O'O '' (рис. 2.12), тобто найкоротша відстань маси до осі:
Тут враховано, що швидкість маси при обертальному русі
Розглянемо цю ситуацію більш детально. Нехай осі Ox, Oy, Oz на рис. 2.12 - головні осі інерції для точки O, O'O '' - нерухома в лабораторній системі вісь обертання, жорстко пов'язана з тілом. Вектор кутової швидкості спрямований уздовж O'O '', можна розкласти по осях системи координат xyz:
де - напрямні косинуси осі O'O ''. Вектор L не збігається з і при обертанні тіла описує конічну поверхню, симетричну щодо O'O ''. Вектор L також можна розкласти по осях системи xyz: причому
де - головні моменти інерції.
Центр еліпсоїда інерції, як видно з його рівняння, знаходиться на початку координат системи xyz (точці О). Постійна може бути обрана довільно і визначає масштаб побудови; змінюючи ми будемо отримувати подібні еліпсоїди. Головні осі еліпсоїда інерції є головними осями інерції тіла для точки О.
Еліпсоїд інерції жорстко пов'язаний з тілом, а його положення щодо тіла залежить від вибору точки О. еліпсоїд інерції, побудований для центру мас тіла, називається центральним. Якщо відомо положення еліпсоїда інерції, відомо і положення всього тіла в даний момент часу. Розглядаючи обертальний рух твердого тіла, в ряді випадків можна абстрагуватися від його форми і мати справу з еліпсоїдом інерції. Для куба і кулі, наприклад, центральні еліпсоїди інерції вироджуються в сферу, тому ці тіла з точки зору багатьох завдань механіки виявляються еквівалентними.
Для прикладу розглянемо суцільне однорідний куб з ребром і масою. Еліпсоїд інерції для центру однієї з граней куба (точка О) показаний на рис. 2.14. Напівосі OA, OB, ОС лежать на головних осях інерції для точки О, причому ОА = ОB лежать в площині бічної грані, а - перпендикулярна бічній грані. Для порівняння: еліпсоїд інерції для центру куба вироджується в сферу з радіусом, рівним ОС.
Поняття еліпсоїда інерції дозволяє за допомогою досить простого графічного побудови встановити зв'язок між кутовою швидкістю і моментом імпульсу L щодо точки О, що належить осі обертання. Йдеться про так званому побудові Пуансо, яке ми наводимо без доведення: необхідно побудувати еліпсоїд інерції з центром в точці О і в точці його перетину з віссю обертання (вектором кутової швидкості) (провести площину, дотичну до еліпсоїда. Перпендикуляр, опущений з центра еліпсоїда інерції на дотичну площину, і дасть направлення вектора моменту імпульсу L Приклад подібного побудови представлений на що обговорювався вище рис. 2.14.