19 Приведення довільної перетворення
до нормальної форми
Ми вже згадували в §18, що в разі, коли у перетворення не вистачає лінійно незалежних власних векторів (тобто коли їх число менше розмірності простору), базис доводиться доповнювати за рахунок так званих приєднаних векторів (їх точне визначення буде дано трохи пізніше ). У цьому параграфі дається спосіб побудови базису, в якому матриця перетворення має жорданову нормальну форму. Цей базис ми безпосередньо наберемо з власних і приєднаних векторів, і такий спосіб вибору є, в деякому сенсі, найбільш природним 4.4.
Нехай - деякий власне значення перетворення. Ми вже мали раніше таке визначення.
Визначення 19.1 Вектор називається власним вектором перетворення, що відповідає власному значенню, якщо
Розглянемо сукупність усіх векторів, що задовольняють умові (1) при фіксованому. Ясно, що сукупність цих векторів є подпространством простору.
Ми позначимо його. Легко бачити, що інваріантної щодо перетворення (перевірте!).
Зауважимо, що підпростір складається з усіх власних векторів перетворення, що відповідають власним значенням, до яких додано ще нульовий вектор.
Визначення 19.2 Вектор називається приєднаним вектором 1-го порядку перетворення, що відповідає власному значенню, якщо вектор
є власним вектором перетворення.
Нехай - власне значення перетворення.
Розглянемо підпростір, що складається з усіх векторів, для яких виконана умова
тобто ядро перетворення. Позначимо це підпростір; єінваріантні подпространством простору. Справді, нехай,, тобто . Нам треба довести, що і вектор, тобто що. Але перетворення перестановки з, тобто
Розглянемо трохи більш докладно структуру простору. У ньому є вектори двох типів.
Якщо, тобто , То поготів і, тобто . Таким чином, цілком міститься в. Якщо, але, тобто
то - приєднаний вектор 1-го порядку. Дійсно, в цьому випадку є власний вектор.
Таким чином, підпростір виходить, якщо до подпространству додати приєднані вектори 1-го порядку.
Аналогічно вводимо підпростір, що складається з усіх векторів, для яких
Це підпростір інваріантної щодо перетворення. Ясно, що підпростір містить попереднє підпростір.
Визначення 19.3 Вектор називається приєднаним вектором -го порядку, якщо вектор
є приєднаний вектор порядку.
За індукції можна показати, що якщо - приєднаний вектор -го порядку, то
Іншими словами, приєднаним вектором -го порядку називається вектор, що належить і не належить.
Приклад 1 Нехай - простір многочленів ступеня і перетворення - диференціювання:
Легко бачити, що є власне значення. Відповідний йому власний вектор. Знайдемо для цього перетворення простору. За визначенням складається з усіх многочленів, для яких, тобто
Це будуть все многочлени, ступінь яких не перевищує. Приєднаними векторами -го порядку будуть многочлени, ступінь яких в точності дорівнює.
У цьому прикладі розмірність кожного з підпросторів дорівнює і вона зростає від до разом з ростом. Підпростір вже збігається з усім простором, і якщо ми захочемо визначити і т.д. то всі ці підпростору будуть збігатися з.
Легко бачити також, що в цьому прикладі. Це випливає з того, що кожен многочлен ступеня є похідна від многочлена ступеня.
Вправа Показати, що для будь-якого лінійного перетворення має місце включення
Нехай - лінійне перетворення, а - його власне значення. Покажемо, що підпростору спочатку строго зростають з ростом індексу, а потім, починаючи з деякого номера, цей ріст припиняється, тобто
(Див. Наведений в цьому пункті приклад).
Ми вже показали, що кожне підпростір містить, тобто що зі збільшенням номера підпростору, а значить, і їх розмірності, можуть тільки збільшуватися.
Так як наш простір конечномерного, то для якогось ми вперше отримаємо, що (див. Вправу на стор.).
Доведемо, що в цьому випадку, тобто що подальшого зростання підпросторів відбуватися не буде.
Дійсно, припустимо противне, а саме, що, але для деякого 0 $ "width =" 44 "height =" 33 "> підпростір строго більше, ніж. Тоді існує вектор такий, що
Позначимо через вектор. Тоді перше з рівності (4) означає, що, а друге, що, що неможливо, так як підпростору і за припущенням збігаються.
Отже, нехай - деякий власне значення перетворення. Основним результатом цього пункту є побудова інваріантного підпростору, що складається з усіх власних і приєднаних векторів, що відповідають цій своїм значенням.
Крім того, в п.3 нам знадобиться більш детальна структура. А саме, позначаючи через підпростір, що складається з приєднаних векторів порядку, ми отримали зростаючу ланцюжок інваріантних підпросторів
Всі члени цього ланцюжка різні. Підпростір складається при цьому з усіх векторів, для яких
тобто це є ядро перетворення.
Перетворення переводить кожне з підпросторів ланцюжка (5) в попереднє.
Нехай - деякий власне значення перетворення. У цьому пункті ми покажемо, що простір можна розкласти в пряму суму двох симетричних підпросторів, в першому з яких перетворення має лише одне власне значення, а в другому у перетворення вже немає власного значення.
Без обмеження спільності, можна вважати, що.
Дійсно, нехай. Розглянемо перетворення; воно вже має власне значення, рівне нулю 4.5. Очевидно також, що інваріантні підпростори перетворень і збігаються.
Отже, надалі ми будемо вважати, що перетворення має власне значення. Доведемо наше твердження спочатку для окремого випадку, коли в просторі немає приєднаних векторів, що відповідають цій своїм значенням, а є тільки власні вектори 4.6.
Нам потрібно побудувати два інваріантних підпростору, пряма сума яких дорівнює. В якості першого з них, в якому є єдине власне значення, можна взяти сукупність всіх власних векторів, що відповідають власним значенням або, іншими словами, ядро перетворення.
В якості другого підпростору візьмемо образ простору при перетворенні, тобто сукупність векторів, де пробігає весь простір. Легко бачити, що кожне з цих підпросторів інваріантної (це доведено в п.4 §9).
Доведемо, що вони дають розкладання простору в пряму суму. Так як сума розмірностей ядра і образу для будь-якого перетворення дорівнює (див. П.4 §9), то достатньо довести, що перетинання цих підпросторів дорівнює нулю.
Припустимо, що це не так, тобто нехай існує вектор такий, що і. Так як, то він має вигляд
де - деякий вектор з. Так як, то
Рівність (7) означає, що є власний вектор перетворення, що відповідає власному значенню, а рівність (6) при цьому означає, що є приєднаний вектор першого порядку, який відповідає тому ж власному значенню. Ми ж припустили, що у перетворення немає приєднаних векторів, що відповідають власному значенню.
Таким чином, доведено, що підпростору і не мають спільних векторів, крім нульового.
Згадуючи, що сума розмірностей образу і ядра дорівнює, ми отримуємо звідси, що простір розкладені в пряму суму інваріантних підпросторів і:
Зауваження З наведеного вище докази видно, що образ і ядро мають перетин, відмінне від нуля в тому і тільки тому випадку, коли перетворення має приєднані вектори, що відповідають власному значенню.
Розібраний окремий випадок дає нам ідею того, як проводити доказ в загальному випадку, коли має також і приєднані вектори, що відповідають власному значенню. Підпростір при цьому виявляється занадто вузьким, і його природно розширити за рахунок додавання всіх приєднаних векторів, що відповідають власному значенню. Друге ж підпростір виявляється при цьому занадто великим 4.7.
Отже, розглянемо введене в п.1 інваріантне підпростір, що складається з усіх власних і приєднаних векторів перетворення, що відповідають власному значенню. Як ми пам'ятаємо, воно є ядром перетворення, тобто складається з усіх векторів, для яких
В якості другого доданка прямий суми ми візьмемо підпростір - образ простору при тому ж перетворенні.
Легко бачити, що також інваріантної щодо перетворення. Дійсно, якщо, тобто , то
тобто також належить.
Теорема 19.1 Простір можна розкласти в пряму суму інваріантних підпросторів і. При цьому підпростір складається тільки з власних і приєднаних векторів, що відповідають власним значенням, а в підпросторі перетворення оборотно (тобто не є власним значенням перетворення в підпросторі).
Для доказу першого твердження нам, як і в розглянутому вище окремому випадку, досить показати, що перетин підпросторів і дорівнює нулю. Припустимо противне, тобто нехай існує вектор такий, що і. Так як, то