Логіка висловлювань (пропозіціональная логіка) - це розділ логіки, що вивчає способи побудови і логічну структуру висловлювань, відносини між ними і висновки, отримані за допомогою логічних операцій кон'юнкції, диз'юнкції, імплікації, еквіваленціі, заперечення і т.д. Часто в логіці це позначається КЛВ - класична логіка висловлювань. Алфавіт логіки висловлювань включає в себе чотири види символів:
Пропозіціональние змінні заміщають собою прості висловлювання. Наприклад, висловлювання «йде сніг» можна позначити символом p, висловлювання «мете заметіль» - символом q, і т.д. Пропозіціональние зв'язки призначені для того, щоб об'єднувати прості висловлювання в більш складні. До них відносяться:
Ú - диз'юнкція ( «або», «принаймні одне з двох» і т.п.)
Ú - сувора диз'юнкція ( «або-або», «тільки одне з двох» і т.п.)
º - еквіваленція ( «якщо і тільки якщо», «рівнозначно» і т.п.)
Формулами в мові КЛВ називаютзначімие вираження. Пропозіціональние змінні самі по собі вже є (атомарними) формулами. Більш складні формули виходять з атомарних з використанням зв'язок.
Визначення формули. (1) Пропозіціональние змінні є формулами. (2) Якщо А і В - формули, то ØА, АВ, АÚВ, АÚ В, АÉВ, АºВ - теж формули. (3) Ніщо інше не є формулою.
Вправа 1. Розставте пропущені дужки в наступних формулах:
а) p Ú Ø q r É s q Ú Ø p º Øs É q Ú r
б) p q º r s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q r
Переводити висловлювання з звичайного мови на природний не важко. Нехай, наприклад, р означає «Іван-царевич любить Марію», q - «Марія любить Івана-царевича», r - «Марія красива», s - «Іван-царевич хоробрий». Тоді перекладом наступних висловлювань будуть формули:
- «Іван-царевич хоробрий і любить Марію» s p
- «Невірно, що Марія негарна
або Іван-царевич її не любить »Ø (Ør Ú Øp)
- «Якщо Марія красива, а Іван-царевич хоробрий,
то вони люблять один одного »(rs) É (Pq)
Семантика мови КЛВ заснована на двох принципах:
1) Принцип бівалентності. Кожна пропозіціональная змінна, що заміщає собою просте речення, може бути або істинною, або хибною. Істинність будемо позначати як 1. хибність - як 0.
2) Принцип композіціональності. Істінностное значення складної формули є функція від істиннісних значень що входять в неї змінних.
Таким чином, кожна пропозіціональная зв'язка трактується як істінностной-істиннісне функція. Для наочності скористаємося таблицею істинності:
В даній таблиці всього чотири рядки, оскільки формула містить лише дві змінні - p і q. Перші два стовпці задають всі можливі комбінації спільної істинності і хибності цих змінних. Наступні п'ять стовпців показують, яким буде значення кожної подформули в тій чи іншій сходинці. Останній (результуючий) стовпець показує значення всієї формули в цілому.
Залежно від того, яким є результуючий стовпець таблиці, виділяють три види формул: тотожно-істинні. тотожно-хибні і логічно випадкові.
Тотожно-істинною (загальнозначущої) називається формула, яка приймає значення «1» у всіх рядках таблиці.
Тотожно-хибною (нездійсненним) називається формула, яка приймає значення «0» в усіх рядках таблиці.
Логічно випадкової (власне здійсненним) називається формула, яка приймає в деяких рядках таблиці значення «1», а в деяких - «0».
У наведеному прикладі формула є тотожно-істинною. Вона істинна завжди, незалежно від того, істинні або помилкові що входять до неї пропозіціональние змінні. Іншими словами, дана формула виражає собою логічний закон.
Вправа 2. встановіть табличним способом, до яких видів належать такі формули:
а) Ø (p q) º (Øp Øq)
б) (p É q) É (Øq É Øp)
в) (p º q) (p Ú q)