В теорії збіжності послідовностей одне з центральних місць займає питання про існування межі у тій чи іншій послідовності. Тут ми розглянемо важливий і досить простий клас послідовностей, для яких ця проблема вирішується відносно просто.
Визначення 3.3. Послідовність. . називається монотонно зростаючою, якщо. тобто якщо для кожного. Послідовність. . називається строго зростаючої, якщо для кожного справедливо нерівність.
Аналогічно можна визначити монотонно спадну і строго убивающуюпоследовательності.
Зростаючі і спадні послідовності називаються монотонними послідовностями.
Завдання 3.10. Довести, що сума двох зростаючих послідовностей зростає.
Завдання 3.11. Довести, що будь-яка неотрицательная послідовність може бути представлена у вигляді суми двох монотонних послідовностей.
Завдання 3.12. Довести, що будь-яка монотонно зростаюча послідовність є обмеженою знизу.
Для з'ясування питання про збіжність монотонних послідовностей сформулюємо і доведемо теорему фундаментальної важливості.
Теорема 3.6 (Вейерштрасс). Нехай послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, тоді вона має кінцевий межа.
Якщо послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, то вона сходиться.
Доведення. Будемо доводити теорему для випадку зростаючої послідовності. Нехай. . обмежена зверху. Тоді для безлічі її значень існує точна верхня грань:. Доведемо, що.
За визначенням точної верхньої межі, по-перше, при всіх. а по-друге, для будь-якого числа знайдеться такий номер. що виконано нерівність. Так як послідовність монотонно зростає, то для всіх. а, значить, і. тобто . Звідси слідує що . Теорема доведена.
Приклад 3.15. Нехай =. . Покажемо, що ця послідовність сходиться. Застосовуючи біном Ньютона, отримуємо:
Зауважимо, що при переході від до кожний доданок збільшується, так як
де. і, крім того, додається додаткове позитивне доданок. значить, <. то есть последовательность возрастает. Далее, каждая из скобок меньше единицы и для всех натуральных справедливо
Тому при будь-якому
тобто наша послідовність обмежена зверху.
Згідно з теоремою Вейєрштрасса послідовність має межу. Ця межа позначається:
З наведених оцінок випливає, що. Можна довести, що e - ірраціональне число, початок його десяткового розкладання має вигляд.
В якості ще однієї програми теореми доведемо твердження, що належить Кантору.
Лема про вкладені відрізки. Нехай дана послідовність числових відрізків
для яких . при будь-якому. тобто кожний наступний відрізок міститься в попередньому. Нехай - послідовність довжин цих відрізків прагне до нуля.
Тоді кінці і цих відрізків прагнуть до загального межі:
який являє собою єдину точку, яка належить всім відрізкам.
Доведення. Розглянемо послідовність. . лівих кінців цих відрізків. Це монотонно зростаюча послідовність, яка є до того ж обмеженою зверху: для всіх значень. Позначимо межа послідовності через.
- монотонно спадна і обмежена знизу послідовність. Позначимо:. Так як . то. Для кожного . і, отже, . Використовуючи умову. отримуємо. Ясно, що це - єдина точка, яка належить всім відрізкам. Лема доведена.