Момент інерції тіла аддитивная величина, яка дорівнює сумі моментів інерції всіх частинок тіла:
Тут mi - маса i-тої частки, яку можна пов'язати з щільністю речовини ri і об'ємом частинки:
Якщо тіло однорідне, тобто його щільність всюди однакова, то r можна винести за знак суми:
Поділяючи тіло на все більш дрібні частинки, зведемо задачу відшукання моменту інерції до вирахування інтеграла:
Інтегрування проводиться по всьому об'єму тіла V.
Як приклад обчислимо момент інерції тонкого однорідного стрижня щодо осі z. що проходить через його центр мас - точку С (рис. 9.3). Довжина стрижня - l. його маса - M.
На відстані x від осі обертання виділимо елемент dx. маса якого dm =.
Момент інерції цієї частки стрижня дорівнює:
Обчисливши таким чином, моменти інерції всіх елементів стержня, складемо їх, взявши інтеграл:
.
Інтегрування проведено по x в межах від до.
Як зміниться момент інерції цього стрижня, якщо вісь обертання перенести в інше місце? Провести її, наприклад, через край стрижня?
В цьому випадку колишній інтеграл потрібно розглянути в межах від 0 до l.
Нове значення моменту інерції того ж стрижня помітно зросла. Пов'язано це з тим, що момент інерції тіла визначається не тільки його масою, а й її розподілом щодо осі обертання.
Обчислимо момент інерції ще одного тіла: суцільного циліндра щодо його геометричній осі.
Нехай M - маса, а R - радіус циліндра (рис. 9.4). Виділимо в цьому циліндрі циліндричний шар радіусом r і товщиною dr. Маса цього шару:
де: r - щільність матеріалу циліндра;
Всі частинки цього шару знаходяться на однаковій відстані від осі обертання - геометричній осі циліндра, значить, момент інерції шару дорівнює:
Для відшукання моменту інерції циліндра проинтегрируем останній вираз:
Відзначимо, що pR 2 l = V - об'єм циліндра, а rpR 2 l = rV = M - його маса.
Тоді момент інерції циліндра відносно його геометричної осі можна остаточно записати в такому вигляді:
Момент інерції тіла відносно довільної осі (I) дорівнює сумі моменту інерції Ic щодо осі, паралельної даній і проходить через центр мас тіла, і твори маси тіла М на квадрат відстані між осями.
де а - відстань між осями.
На малюнку 9.5 осі обертання перпендикулярні площині креслення: через точку 0 проходить довільна вісь; паралельна їй вісь проведена через центр мас тіла - точку С. Відстань між осями - а.
Виділимо елемент тіла масою Dmi. Його момент інерції щодо осі 0 дорівнює:
Як випливає з малюнка, звідки:
Тепер момент інерції частинки Dmi (9.10) можна представити такою сумою:
Для відшукання моменту інерції всього тіла, потрібно скласти моменти інерції всіх його частинок:
Тут за знак суми винесена постійна величина - відстань між осями а. Перший доданок праворуч = Ма 2. так як = М - маса тіла. Другий доданок = IС - момент інерції тіла, щодо осі, що проходить через центр мас. Третє доданок дорівнює нулю, так як сума дорівнює добутку маси тіла на вектор, проведений від осі С до центру мас тіла. Але вісь З проходить через центр мас, тому = 0 і = М = 0.
Зібравши ці результати в рівняння (9.12), отримаємо вираз теореми Гюйгенса-Штейнера:
Ця теорема значно спрощує завдання обчислення моментів інерції.
Відомий, наприклад, момент інерції стрижня відносно осі, що проходить через його центр мас (9.7):
Скориставшись теоремою Гюйгенса-Штейнера, легко обчислимо момент інерції цього ж стержня відносно осі z ', що проходить, наприклад, через край стрижня (рис. 9.3):
Це значення моменту інерції збігається з результатом (9.8), який був отриманий методом прямого інтегрування.