Говорячи про ідеальному газі, ми виходили з того, що молекули не взаємодіють між собою. Насправді передбачалося, звичайно, відсутність потенційної енергії взаємодії між ними. Пружні зіткнення між молекулами і молекул зі стінками обов'язково повинні відбуватися хоча б тому, що інакше буде відсутній механізм, за допомогою якого встановлюється рівний розподіл енергії за ступенями свободи, інакше не можна буде говорити про температуру системи, тиску в ній і т. П. Зіткнення молекул відбуваються випадково. Вони призводять до зміни напрямку і величини швидкості частинок, але не змінюють розподілу молекул за швидкостями і координатами в рівноважних системах.
Виникає питання: а чи завжди молекули будуть зіштовхуватися один з одним? Адже молекули дуже малі, а відстані між ними в ідеальному газі на порядок більше їх лінійних розмірів. Бути може, для судин малих розмірів вони летять без зіткнень від стінки до стінки? Підрахуємо, скільки разів в одиницю часу одна молекула може зіткнутися з іншими і яку відстань вона пролітає в середньому між зіткненнями.
Перш ніж перейти до обчислень, візьмемо найпростішу модель для молекул. Будемо представляти їх у вигляді пружних кульок. При зіткненні молекул з ефективними діаметрами d1 і d2 їх центри зближуються на відстань (d1 + d2) / 2 (рис. 4.2).
Мал. 4.2. Зіткнення двох молекул (1) і траєкторія руху виділеної молекули газу (2): напрямок її руху змінюється, коли якась із молекул середовища потрапляє в радіус взаімодействіяR = (dt + d2) / 2
Якщо уявити собі, що молекула 1 налітає на молекулу 2. то зіткнення станеться; якщо перша молекула потрапить в сферу радіусом
описану навколо другої молекули. Площа перетину цієї сфери
Величина R називається ефективним радіусом взаємодії молекул1 і 2. а -ефективно перетином взаємодії цих молекул. При зіткненні однакових молекул d1 = d2 = d, R = d і
За час між двома послідовними зіткненнями молекула пролітає деякий шлях l. Зрозуміло, для кожної окремої молекули справа чистої випадковості, як далеко їй вдасться просунутися без зіткнень. Але усредняя шлях l по всіх молекул системи, отримаємо фізичну величину
звану середньою довжиною вільного пробігу молекул. Статистичний сенс цієї величини такий: ставлення малого відрізка довжиною dx до дає ймовірність зіткнення
на шляху dx. Нехай Р (х) - ймовірність пролетіти без зіткнень відстань х. тоді
- ймовірність, пролетіти без зіткнень відстань х + dx. Остання обставина складається з двох незалежних подій:
частка пролетіла без зіткнень відстань х (ймовірність чого дорівнює Р (х));
частка також без зіткнень подолала ще й маленький відрізок шляху dx (ймовірність чого дорівнює 1 - dx /). По теоремі про примноження ймовірностей маємо тоді
звідки слід рівняння для ймовірності Р (х)
Оскільки ймовірність подолати нульове відстань без зіткнень дорівнює одиниці, маємо додатково початкова умова Р (0) = 1. Інтегруючи диференціальне рівняння, знаходимо остаточно
He слід думати, звичайно, що ймовірність подолати відстань l без зіткнень дорівнює нулю: частина молекул може пролетіти дуже великі відстані, але лише вкрай невелика їх частина. При х =, як випливає з (4.1), ймовірність прольоту без зіткнень дорівнює
тобто 63,2% часток випробують зіткнення на цьому шляху. При довжині шляху х = 2 отримуємо
тобто зіткнення судилися вже 86,5% часток, при х = 3 в зіткненнях бере участь вже 95% частинок, оскільки
Щоб визначити середнє число зіткнень n однієї молекули з іншими в одиницю часу, зробимо такі припущення:
всі молекули однакові, тобто ми не розглядаємо суміші газів;
всі молекули, за винятком тієї, за якою ми спостерігаємо, нерухомі (надалі ми покажемо, як позбутися від цього свідомо невірного припущення);
при зіткненнях швидкість vОT молекули не змінюється (це припущення, по суті, того ж рівня, що і попереднє: при пружному зіткненні з перешкодою, яке залишається нерухомим, модуль швидкості дійсно не змінюється (сенс підрядкового індексу «від» стане ясним надалі)) .
Шлях нашої молекули діаметром d залишається прямолінійним до тих пір, поки їй не зустрінеться нерухома молекула, чий центр виявиться від лінії руху на відстані, меншій R = d. Після цього молекула змінить напрямок руху і буде рухатися прямолінійно до нового зіткнення. За інтервал часу Δ t молекула пройде ламаний шлях vOT Δ t і зіткнеться з усіма молекулами, які потрапили в ламаний циліндр радіусом d і площею підстави = pd 2 (див. Рис. 4.1). Обсяг цього циліндра дорівнює pd 2 vOT Δ t. Якщо n- концентрація молекул в системі (їх число в одиниці об'єму), то легко знайти кількість нерухомих молекул в циліндрі, тобто число зіткнень DN:
Звідси випливає частота зіткнень (тобто число зіткнень в одиницю часу)
Оскільки при постійній температурі концентрація частинок пропорційна тиску, то з ростом тиску довжина вільного пробігу зменшується. Це і зрозуміло, так як зменшується середня відстань між частинками. Насправді молекула не є твердим кулькою. Тому її ефективний діаметр d- величина не зовсім постійна: він зменшується при збільшенні температури, хоча і незначно. Тому середня довжина вільного пробігу злегка зростає з підвищенням температури.
Слід зазначити, що середня відстань між частинками далеко не збігається із середньою довжиною вільного пробігу. Раніше ми оцінили ефективний діаметр молекули водяної пари d = 3 · 10 -10 м і середня відстань між молекулами при нормальних умовах L = 3 · 10 -9 м. Звідси знаходимо концентрацію молекул
Підставляючи знайдене n в вираз для довжини вільного пробігу, знаходимо
Ми бачимо, що довжина вільного пробігу в 200 разів більше діаметру молекули і в 20 разів більше середньої відстані між молекулами. Для повноти картини оцінимо також частоту зіткнень. Кінетична енергія поступального руху молекули
Знаючи масу молекули води
отримуємо оцінку середньоквадратичної швидкості
Інакше кажучи, молекула зазнає 10 млрд зіткнень в секунду! Лінійний розмір посудини, що містить один літр газу, дорівнює l = 10 см = 0,1 м. При швидкості 630 м / с молекула могла б пролетіти шлях від стінки до стінки за час
але за цей час вона зазнає
зіткнень з іншими молекулами.
У нас залишилося без обговорення першого припущення про однаковість всіх молекул. Воно було потрібно не з принципових міркувань, а для спрощення виводу і остаточних виразів. Якщо це не так, якщо ми розглядаємо суміш газів, то компоненти мають різні концентрації частинок, різні середньоквадратичні швидкості, а їх молекули - різні маси. Як наслідок, зміниться формула для середньої довжини вільного пробігу, причому результати будуть відрізнятися для молекул різних сортів.
Приклад. Знайдемо, як зміниться формула (4.6) для середньої довжини вільного пробігу молекул, якщо вони являють собою плоскі диски, що рухаються в матеріалі тонкої плівки, будучи не в змозі з неї вилетіти?
Як і раніше, для зіткнення молекул діаметрами d1 і d2 вони повинні зблизитися на відстань
Тому при русі молекули по площині плівки вона зачепить всі інші молекули, які потраплять в ламаний прямокутник (на відміну від циліндра в тривимірному випадку) шириною 2R і довжиною vOT Δ t. Площа цього прямокутника
При поверхневій концентрації n молекул (в цьому випадку n - їх число на одиницю площі) відбудеться Δ N = Sn зіткнень. Звідси для частоти зіткнень знаходимо
де ми врахували, що, як і раніше, відносна швидкість
Звідси довжина вільного пробігу для рухомих в площині плоских молекул виходить рівної
Побачення в лісі, їжачок в тумані і атомна бомба. Ідея довжини вільного пробігу може бути використана для оцінки видимості в лісі, в тумані або навіть для грубої оцінки критичної маси урану в атомній бомбі.
Уявіть собі, що у вас призначено побачення в лісі. З якого максимального відстані R ви помітите свого партнера (а партнер - вас)? Покладемо, ви включаєте ліхтарик, щоб подати йому / їй сигнал. Якщо не враховувати розсіювання світла, то всі дерева відкидають тіні, лінійний розмір яких можна вважати приблизно рівним діаметру d дерев. На рис. 4.3 ваше місце знаходження відмічено червоним кружком, навколо проведена коло радіусом R, дерева показані зеленими кружками, а їх тіні на окружності відзначені помаранчевими дугами.
Мал. 4.3. Оцінка максимального расстояніяRвідімості в лісі
Визначимо, яку частину окружності покривають тіні. Нехай n щільність посадки дерев (їх число на одиницю площі). Якщо l - середня відстань між деревами, то
Всередину кола потрапляє pR 2 n дерев. Повна довжина тіні на окружності дорівнює тому pR 2 nd. Ми бачимо, що повна довжина тіні росте як квадрат радіусу і при якомусь значенні R перевищить довжину окружності 2pR. Але якщо вся окружність покрита тінями, то світло далі не пройде. Це значення R і буде максимальною відстанню видимості в лісі. Тепер зрозуміло, що воно визначається з рівності
тобто ми отримали оцінку
Для чисельного прикладу можна взяти значення, виходячи зі свого життєвого досвіду. Скажімо, побачення призначено серед берізок із середнім діаметром стовбура d = 0,25 м і середньою відстанню між деревами l = 10 м. Тоді знаходимо R = 800 м.
Встановимо тепер зв'язок отриманого результату з формулою для середньої довжини вільного пробігу. У нас одна молекула (світловий промінь) не має розміру (d1 = 0), розмір інших молекул дорівнює середньому діаметру стовбура (d2 = d) і, нарешті, молекули (стовбури) - покояться, тобто треба відкинути множник. Отримуємо в результаті - стосовно нашого завдання - вираз
Таким чином, знайдений нами радіус видимості
Імовірність світла подолати цю відстань без «зіткнень» з деревами дорівнює
Іншими словами, з імовірністю 86.5% світло буде затриманий деревами.
Побачення в лісі відбувалося на площині. Зараз ми повернемося в об'ємний світ. Той же малюнок зображує тепер сферу радіусом R і перешкоди у вигляді кульок діаметром d. Наприклад, ми хочемо оцінити видимість для їжачка, який заблукав у тумані, і роль дерев тепер виконують водяні краплі. Якщо концентрація крапель дорівнює п (їх число в одиниці об'єму), то всередині сфери знаходиться
Їх тіні на сфері є окружності площею pd 2/4. При максимальній відстані видимості тіні покривають всю сферу:
Звідси знаходимо відстань видимості в тумані
Знову порівняємо цей результат з формулою (4.6) для довжини вільного пробігу молекули в газовому середовищі, де треба відкинути фактор і взяти
Імовірність подолати шлях R = 3l без зіткнень дорівнює
Стало бути, з імовірністю 95% зіткнення на цьому шляху станеться.
Отримаємо чисельну оцінку. Наші міркування годяться, якщо розмір крапель помітно (скажімо, на один-два порядки) перевищує довжину світлової хвилі. Так як видимий діапазон має довжини хвиль 0,40-0,76 мкм. то для діаметра крапель приймемо оцінку d = 10 -4 м. Для концентрації крапель візьмемо значення n = 3 · 10 7 м- 3 (про походження цього числа см. трохи нижче). Тоді видимість в тумані буде
Концентрацію крапель ми оцінили наступним чином. Тиск насиченої водяної пари при, скажімо, 20 ° С (Т = 293 К) дорівнює рН = 2,3 · 10 3 Па. Застосовуючи рівняння Клапейрона - Менделєєва, знаходимо щільність водяної пари при 100% вологості:
При різкому зниженні температури весь пар конденсується в краплі зазначеного розміру - утворюється густий туман. Маса однієї краплі дорівнює
Кількість утворилися крапель в обсязі V знаходимо як відношення маси пара m до масі краплі mКАП. Тоді концентрація крапель визначиться зі співвідношення
При d = 10 -4 м отримуємо використане вище значення n = 3 · 10 -7 м -3.
Залежність відстані видимості в тумані від розміру крапель дається, таким чином, співвідношенням
При гранично малих крапельках з діаметром близько десяти довжин світлової хвилі d = 10 - 5 м видимість скорочується до одного метра. Що називається, «не видно далі свого носа». При ще менших розмірах крапель наша модель стає невірною, тому що світ вже не можна розглядати просто як сукупність часток з мізерно малим розміром. Починають грати роль ефекти дифракції, і вираз для ефективного перетину взаємодії світла з краплями вже не буде визначатися чисто геометричним перетином крапель.
Розв'язана задача має також відношення до питання про критичну масу урану-235, що застосовується для виготовлення атомних бомб. Замість світла в цьому завданні ми маємо нейтрони, а замість крапель - ядра 235 U. При зіткненні з ядрами нейтрони розщеплюють їх на осколки, і при цьому вилітає ще 3-4 нейтрона. При критичному радіусі Rкріт кількість нейтронів не буде зменшуватись і виникне самопідтримується ланцюгова реакція - відбудеться атомний вибух. За основу визначення критичного радіуса можна взяти радіус видимості
зменшений в k раз (k = 3,5 - коефіцієнт розмноження нейтронів). оскільки
де r0 = 1,4 · 10 -15 м - радіус ядра з масовим числом А = 1. тобто протона (нейтрона). Тому ефективний діаметр взаємодії дорівнює
У довіднику (наприклад, Російському енциклопедичному словнику) знаходимо щільність урану rU = 19 · 10 3 кг / м 3. Масу ядра урану-235 визначаємо по масі протона
Звідси знаходимо концентрацію ядер
Тепер ми можемо оцінити критичний радіус Rкріт
критичний обсяг Vкріт
і критичну масу Мкріт
Відзначимо, що ніяких секретів виробництва ядерної зброї ми не видаємо: занадто грубі ці оцінки. Єдина наша мета - продемонструвати ще раз єдність законів фізики, що діють в найрізноманітніших системах.