транскрипт
1 МОДУЛЬ 6 «Первісна та інтеграл». Первісна. Визначення первісної. Правила знаходження первісної. Інтеграл. Невизначений і визначений інтеграли. Площа криволінійної трапеції. Інтеграл. Формула Ньютона Лейбніца. Первісна. Визначення первісної. Функція F () називається первісною для функції f () на заданому проміжку, якщо для всіх аргументів х з цього проміжку F '() = f (). Приклади. Функція y є первісною для функції f) справедливо рівність (, так як для всіх. Функція y є первісною для функції справедливо рівність f (), так як для всіх. Функція y sin є первісною для функції f () cos, так як для всіх справедливо рівність sin cos. Функція y є первісною для функції (0;), так як для всіх 0 справедливо рівність f () на проміжку y Формули для відшукання первісних представлені в табл.
2 Таблиця Формули первісних п / п Функція yf () Первісна y F () 0 С n (nn, n) 6 nn (при> 0) 7 sin - cos 8 cos sin 9 0 sin cos - ctg tg Для функції y первообразной служить функція 6 6. yn 6 n 6 (див. рядок в табл.). Правила знаходження первісної Правило. Якщо F є первісна для f, а G - первісна для g, то F + G є первісна для f + g, так як (F + G) '= F' + G '= f + g Правило. Якщо F () є первісна для функції f (), а k постійна, то функція первісна для функції kf, так як (kf) '= kf' = kf kf
3 Правило. Якщо F () є первісна для f (), а k і b постійні, причому k 0, то F (kb) є первісна для f (k + b), так як k (F (kb)) F (kb) kf (kb) kk Приклади. Знайдіть первісну функції f () Так як для первісної є, а для первісної є, за правилом знаходимо: первісною для функції f () буде. Відповідь: F (). Знайдіть первісну функції f () cos Для функції cos первообразной є sin, застосовуючи правило, отримуємо. F () sin Відповідь: F () sin. Знайдіть первісну функції y sin () Для функції sin однією з первісних є функція cos, тому за правилом шукана первісна дорівнює F () cos () Відповідь: F () cos (). Знайдіть первісну функції f () (7)
if ($ this-> show_pages_images $ Page_num doc [ 'images_node_id'])
4 Так як для функції f () первообразной є по формулі при n = -, то шукана первісна дорівнює F () нашому випадку (7), то за правилом, отримаємо. а так як в F () (7) (7) Відповідь: F () (7) рішення. Інтеграл. Невизначений і визначений інтеграли. Площа криволінійної трапеції. Невизначений інтеграл Завдання відшукання первісної для заданої функції f () має не єдине Теорема Якщо y = F () первісна для функції y = f () на проміжку X, то y функції y = f () нескінченно багато первісних і всі вони мають вигляд y = F () + C (див. рис.) Малюнок Графіки первісних для функції Визначення Якщо функція y = f () має на проміжку X первісну y = F (), то безліч всіх первісних, тобто безліч функцій виду y = F ( ) + C, називають невизначеним інтегралом від функції y = f () і позначають f () d (читають: невизначений інтеграл еф від ікс Де ик с).
5 Основні невизначені інтеграли. d C n n. d C n d. C d. C. sin d cos C 6. cos d sin C d 7. ctg C sin d 8. tg C cos, (n N, n) Правила інтегрування Правило Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів цих функцій (f () g () ) df () dg () d Правило Постійний множник можна винести за знак інтеграла kf () dkf () d Правило F (km) Якщо f () d F () C, то f (km) d C k Приклади: Знайти невизначені інтеграли. d
6. 0 () d. cos (). sin d d Рішення. Розглянемо рішення прикладу d Застосуємо правила інтегрування і, отримаємо ddddd Далі застосуємо формули інтегрування і (див. Невизначені інтеграли) і отримаємо результат: dddd 6 C d C. Інтеграл 0 () d можна обчислити використовуючи правила (інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів цих функцій) і (постійний множник можна nn винести за знак інтеграла), а так само формулу (d C): nddd 0 0 () () 0 0 () ddd 0 CCC 6
7 d. Розглянемо рішення прикладу. cos () Застосувавши третє правило інтегрування при к = і m = і формулу 8, отримаємо: d tg () C cos (). Для вирішення прикладу sin d у нас немає відповідної формули. Тому застосуємо формулу зниження ступеня cos d sin d = sin C sin (cos) d cos, отримаємо: d cos d sin C В процесі обчислення для інтеграла отримали: cos d sin cos d застосували правило при к = і Визначений інтеграл. Площа криволінійної трапеції. Визначений інтеграл від функції y = f () по відрізку [a, b] позначають b a f () d, де a і b є межами інтегрування відповідно a нижня межа інтегрування, а b верхня межа інтегрування. Геометричний сенс певного інтеграла площа криволінійної трапеції. Фігуру, обмежену графіком цієї функції, відрізком [а; b] і прямими = a, = b називають криволінійною трапецією. Криволінійна трапеція представлена на рис. 7
8 Малюнок Площа криволінійної трапеції Площа криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [а; b] за умови, що f неперервна і невід'ємна на цьому відрізку, а F її Первісна. S = F (b) F (a), якщо f () 0, то площа криволінійної трапеції виражається за формулою. b S f () d. a Приклад. Обчислимо площу криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f () і прямими 0 y, і (див. Рис.) Малюнок Криволінійна трапеція, обмежена графіком функції f () і прямими y 0, і 8
9 Для функції f () однієї з первісних є функція F (). 7 Отже, площа криволінійної трапеції S F () F (). Інтеграл. Формула Ньютона Лейбніца. [A; b] Формула Ньютона Лейбніца вірна для будь-якої функції f, безперервної на відрізку babf () d F () F (b) F (a) a Різниця F (b) F (a) (приріст функції F на відрізку [a; b] ) прийнято скорочено позначати F () ba, тобто F (b) F (a) = F () ba відповідно до цього формула Ньютона Лейбніца може бути записана наступним чином: baf () d = F () b a. Обчисліть певний інтеграл d Для однієї з первісних є, тоді застосувавши формулу Ньютона Лейбніца і підставивши значення меж інтегрування, отримаємо рішення: () d 0. Обчисліть певний інтеграл sin d 0 sin d cos 0 cos () (cos (0)) () при обчисленні визначеного інтеграла застосували таблицю значень тригонометричних функцій (див. Модуль), по якій значення cos π = -, cos 0 =. 9
10. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y і y На рис. представлені графіки функцій і виділена криволинейная трапеція, площа якої необхідно знайти. Малюнок - Графіки функцій y і y Для вирішення завдання знайдемо абсциси точок їх перетину з рівняння. Виконавши перетворення, отримали квадратне рівняння: 0 0 Вирішивши квадратне рівняння 0, знайшли коріння рівняння. = І =. Площа отриманої криволінійної трапеції може бути отримана як різниця площ криволінійної трапеції BADC і трикутника BAC. За формулою меж інтегрування, отримаємо: b S f () d знайдемо площу фігури BADC, підставимо значення a 0
11 9 8 6) () () (()) (d S Площа трикутника обчислюється за формулою (курс геометрії) як половина твори підстави на висоту. 9 BC AB S ABC. Отже, площа криволінійної трапеції (зафарбована фігура на рис.) дорівнюватиме. 9 9 ABC S BADC SS