У розглянутих випадках, що складаються взаємно коливань, виходили фігури обмежені прямокутником зі сторонами рівні і.
Фігури Ліссажу - замкнуті траєкторії, що проводяться точкою, що здійснює гармонічні коливання в двох взаємно перпендикулярних напрямках. Фігури Ліссажу можна спостерігати за допомогою осцилографа, подаючи одночасно на вхід і вхід (горизонтальні і вертикальні відхиляють) змінні напруги кратних частот.
У разі складання двох кратних частот взаємно коливань отримуємо відповідні фігури Ліссажу:
Прімер.Получіть фігури Ліссажу:
а) при кратності частот
Вирішуючи спільно, позбавляємося від тимчасової залежності
якщо отримуємо зворотний параболу (рис. 5.8):
б) при кратності частот
отримуємо фігуру Ліссажу типу «корони з трьома піками» (рис. 5.9):
в) при кратності частотполучаем кардиоиду (рис. 5.10):
У таблиці 5.1 наведені фігури Ліссажу при різній кратності і різниці фаз складаються частот:
Фігури ЛіссажуТабліца 5.1.
Для того, щоб отримати фігуру Ліссажу, можна використовувати графічний метод, який полягає в наступному: будують графіки двох складаються взаємно гармонійних коливань з кратними частотами, а потім знімають значення координат і в однакові моменти часу після чого наносять точки на графік залежності (див. Рис . 5.11).
При нанесенні точок необхідно враховувати те, що закінчувати цю процедуру необхідно не раніше того часу, якому відповідає більший період з двох коливань,.
Однак практичне значення має зворотний завдання, яка дозволяє визначити кратність коливань,, т. Е. Знаючи значення частоти одного коливання, можна визначити невідому частоту за наведеною нижче формулою:
де, - кількість перетинів фігурою Ліссажу осей і відповідно,, - частоти складаються взаємно коливань (приклад на рис. 5.12).
Питання для самоконтролю
1. Що називають результуючими коливаннями і як їх можна класифікувати?
2. Дайте визначення когерентних коливань.
3. У чому полягає метод биття?
4. В яких межах буде змінюється амплітуда результуючих коливань в залежності від різниці початкових фаз коливань?
5. Результатом складання яких коливань є негармонійні результуючі коливання?
6. Які коливання називають биттям?
7. Що називають еліптично поляризованими коливаннями?
8. Опишіть графічне зображення еліптично поляризованих коливань.
9. У якому випадку еліпс вироджується у відрізок прямої?
10. У якому випадку траєкторія точки є окружність?
11. У яких випадках рівняння відповідає знак плюс, а в яких - мінус?
12. Результатом яких коливань є фігури Ліссажу? За допомогою якого приладу ми можемо їх спостерігати?
Приклад 4.Точка робить коливання по законугде. Визначити початкову фазу, якщо і. Побудувати векторну діаграму для моменту.
Решеніе.Воспользуемся рівнянням руху і висловимо зміщення в, момент через початкову фазу :.
Звідси знайдемо початкову фазу :.
Підставами в цей вислів задані значення і: .Значенію аргументу задовольняють два значення кута:
Для того щоб вирішити, яке з цих значень кута задовольняє ще й умові, знайдемо спочатку:
Підставивши в цей вираз значення і по черзі значення початкових фаз і, знайдемо
Так як завжди і, то условіюудовлетворяет тільки перше значення початкової фази. Таким чином, шукана початкова фаза
По знайденому значеніюjпостроім векторну діаграму (див. Рис.).
Приклад 5.Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, які висловлюються рівняннями і, де,. Знайти рівняння траєкторії точки і побудувати її, вказавши напрямок руху.
Решеніе.Пусть точка одночасно коливається вздовж осей координат і за законами:
де і - декартові координати точки. Рівняння траєкторії результуючого руху точки в площині можна знайти, виключивши з виразів для і параметр:
Після нескладних перетворень одержуємо рівняння траєкторії:
Траєкторія має форму еліпса (див. Рис.), Причому точка описує цей, еліпс за час, що дорівнює періоду коливань, що.
Орієнтація в площині осей еліпса, а також його розміри залежать від амплітуд і коливань, і різниці їх початкових фаз. Якщо, де, то осі еліпса збігаються з осями координат і, а розміри його піввісь рівні амплітудам і:
Підставивши числові значення, остаточно отримаємо:
§5.3. Механічні гармонічні коливання. Гармонійний осцилятор.
Динаміка гармонійних коливань
Розглянемо деяку матеріальну точку, яка здійснює прямолінійні гармонійні коливання уздовж осі координат. За початок координат виберемо положення рівноваги для даної точки. Залежність координати точки від часу має вигляд:
З визначення швидкості і прискорення отримаємо наступні співвідношення проекцій для матеріальної точки на вісь
де - амплітуда швидкості; - амплітуда прискорення.
З урахуванням другого закону Ньютона висловимо силу, діючу на матеріальну точку
де m - маса матеріальної точки. З даного співвідношення видно, що сила пропорційна зсуву матеріальної точки з положення рівноваги і спрямована в протилежний бік:
Такого роду залежність сили від зсуву характерна для пружної сили, тому сили іншої фізичної природи, що задовольняють того ж виду залежності, називаються квазіпружної.
Механічна енергіягармоніческіх коливань
З урахуванням вище отриманої формули (5.19) розглянемо кінетичну енергію матеріальної точки, що здійснює прямолінійні гармонійні коливання:
Проаналізувавши дані співвідношення можна зробити висновок, що кінетична енергія матеріальної точки періодично змінюється від 0 до, здійснюючи гармонічні коливання з циклічною частотою і амплітудою близько середнього значення, рівного.
З огляду на (5.18) отримаємо такий вираз для розрахунку потенційної енергії матеріальної точки, гармонійно що коливається під дією квазіпружної сили:
Проаналізувавши дані співвідношення, можна зробити висновок, що значення потенційної енергії матеріальної точки періодично змінюються від 0 до, здійснюючи гармонічні коливання з циклічною частотою і амплітудою близько середнього значення, рівного. Зі співвідношень (5.21) і (5.23) можна стверджувати, що коливання потенційної і кінетичної енергії відбуваються із зсувом по фазі на, так що повна механічна енергія матеріальної точки не змінюється при гармонійних коливаннях (що і підтверджує ЗСПМЕ):
З урахуванням співвідношень (5.20), (5.22) і (5.24) можна побудувати графіки залежностей від часу для випадку, які відображені на рис. 5.13.
Гармонійним осцилятором називається система, яка здійснює коливання, описувані диференціальним рівнянням виду:
рішенням якого, є рівняння гармонійних коливань:
Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху і служать точною або наближеною моделлю у багатьох задачах класичної та квантової фізики. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники при малих амплітудах коливань.
Розглянемо ці системи, які вчиняють вільні гармонічні коливання.
Пружинним маятником називається вантаж масою, укріплений на абсолютно пружною, невагомою пружині, здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили, де - жорсткість пружини.
Далі ми знайдемо період коливань цього маятника. Якщо грузик зміщений з нульового положення (в якому пружина не деформована) на відстань, то на грузик з боку пружини буде діяти сила. Крім цього, на грузик діє сила тяжіння. Згідно з другим законом Ньютона, сума всіх сил, прикладених до грузик, дорівнює, де - прискорення. Таким чином, зробивши проекцію на вісь спрямовану вздовж траєкторії руху даного маятника, ми можемо записати диференціальне рівняння для пружинного маятника:
де - прискорення вільного падіння в гравітаційному полі, - друга похідна координати за часом. Це рівняння має наступне рішення:
З отриманої формули видно, що період коливань пружинного маятника дорівнює
а кутова частота, відповідно дорівнює.
Ці формули справедливі в межах виконання закону Гука, тобто при малих деформаціях пружини, а так же за умови, що маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.
Амплітуда коливань і фаза коливань залежать від початкових умов (в момент часу) - початкового зсуву грузика і початкової швидкості. У стані рівноваги пружина розтягнута на величину.
Приклад. Припустимо, що коливається грузик пов'язаний з маркером, який малює лінію на паперовій стрічці. Якщо стрічка рухається рівномірно в горизонтальному напрямку, то маркер буде малювати на ній синусоїду (косинусоид). Знаючи швидкість руху стрічки і період синусоїди, ми можемо обчислити період коливань грузика на пружині.
Фізичним маятником називається тверде тіло, яке здійснює коливання під дією своєї сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр ваги тіла і званої віссю хитання маятника. Центр ваги маятника збігається з його центром мас (ріс.5.17). Точка перетину осі хитання маятника з вертикальною площиною, що проходить через центр ваги маятника і перпендикулярній осі гойдання, називається точкою підвісу маятника.
Якщо силами тертя в підвісі маятника можна знехтувати, то обертальний момент відносно осі хитання маятника створює тільки його сила тяжіння (момент сили реакції опори дорівнює нулю, так як сила реакції проходить через вісь маятника). Відхилення маятника від положення рівноваги характеризується кутом, утвореним прямий з вертикаллю (ріс.5.14). При відхиленні маятника від положення рівноваги виникає обертальний момент, рівний за величиною. Він має такий напрямок, що прагне повернути маятник в положення рівноваги (). Розглядаючи як вектор, пов'язаний з напрямком повороту правилом правого гвинта, бачимо, що вектори і спрямовані в протилежні сторони (ріс.5.14). Проекція вектора на вісь буде негативна:
- відстань від центру мас маятника до осі гойдання.
Ми знаємо, що основний закон динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі, має вид:,
З через великий обсяг цей матеріал розміщений на декількох сторінках:
1 2 3 4 5