В математиці знайдеться чимало прикладів ситуацій, які можуть існувати в реальності, але не мають логічного пояснення, і, тим самим, ставлять нас в глухий кут. Наступні завдання, пов'язані з теорії ймовірності, не дадуть вам занудьгувати і допоможуть протестувати ваші розумові здібності.
Уявіть, що ви берете участь в шоу, де ведучий показує вам три двері. За однією з дверей знаходиться приз - новий автомобіль, а за двома залишилися - два козла. Ви можете вибрати будь-які двері і отримати саме той приз, який за нею ховається.
Ви вибираєте двері, а потім ведучий відкриває одну з двох інших дверей (провідний знає, де ховається машина, але він завжди відкриває ті двері, за якої знаходиться козел).
Ведучий запитує вас:
- Чи хотіли б ви змінити свій вибір? Або зупинитеся на той же двері, яку вибрали?
Ваше рішення?
Отже, ви вирішуєте залишити колишній варіант вибору.
Адже не існує ніякої різниці, міняти двері чи ні. Так як залишилося тільки двоє дверей, то шанс вгадати, де знаходиться машина, становить 50/50. Вірно?
Правильна відповідь: ви завжди повинні міняти свій вибір, тому що тоді ймовірність виграти машину буде в два рази більше.
Гравець, чия стратегія полягала б у тому, щоб кожен раз міняти обрану двері, буде програвати тільки в тому випадку, якщо він спочатку вибирає двері, за якими знаходиться автомобіль. Оскільки ймовірність вибрати автомобіль з першої спроби становить один до трьох (або 33%), то шанс не вибрати автомобіль, якщо гравець буде міняти свій вибір, також дорівнює один до трьох (або 33%). Це означає, що гравець, який використовував стратегію міняти двері, виграє з ймовірністю 66% або два до трьох. Це подвоїть шанси на виграш гравця, чия стратегія - кожен раз не змінювати свій вибір.
Все ще не вірите? Припустимо, що ви вибрали двері №1. Тут представлені всі можливі варіанти того, що може статися в цьому випадку:
Якщо ви залишаєте свій первісний вибір, ви виграєте один раз з трьох; якщо міняєте вибір - вгадуєте два рази з трьох.
Ви як і раніше не впевнені? Давайте виконаємо те ж саме, тільки з 50 дверима. Ви вибираєте двері №1.
А ми відкриваємо інші 48 дверей, за якими заховані козли. Ви ще впевнені в своєму виборі? Пам'ятайте, що у вас є 1 шанс з 50 вгадати потрібну вам двері з першої спроби. Тут діє той же самий принцип.
Відповідь: Шанс того, що у двох людей в офісі день народження припадає на один і той же день, становить 50%.
Якщо кількість людина досягає цифри 366, то статистично гарантовано, що хоча б у двох людей дні народження співпадуть, так як можливо тільки 365 ймовірних днів народження. Однак якщо брати до уваги, що всі дні народження можуть бути рівноімовірними, то для групи з 57 осіб ймовірність такого збігу становитиме 99%.
Як нам це з'ясувати?
Давайте повернемося до 23 колегам з офісу, щоб зрозуміти, як це возможно.Сформуліруем зворотне твердження: не у двох осіб в групі співпадуть дні рожденія.Виясніть ймовірність того, що, по крайней мере, дві людини в офісі справляють день народження в один день, вельми скрутно, якщо безпосередньо зіткнутися з етім.Виясніть ймовірність того, що ні у кого в групі не збігаються дні народження, набагато легше.
Імовірність того, що у двох осіб не збігаються дні народження, така:
Імовірність того, що у трьох осіб не збігаються дні народження, така:
Імовірність того, що у чотирьох осіб не збігаються дні народження, така:
Бачите, до чого ми приходимо? Імовірність того, що у 23 чоловік дні народження не співпадають, становить:
Так як шанс, що ніхто не народився в один день, становить 49,3%, то шанс, що хоча б у двох людей дні народження збігаються, дорівнює 50,7%.
Ось як виглядає крива ймовірності:
В даному колективі в середньому співробітник має 2,85 друзів. Однак середня кількість друзів, з якими дружать друзі цієї людини, становить 3,39.
Цими людьми виявилися ті, хто має середнє число друзів, як показано вище. Отже, вони є найпопулярнішими членами колективу. Але найголовнішим є те, що 17 з 20 осіб в офісі є друзями, принаймні, одного з цих людей:
Ув'язнений А схвильований, адже тепер ймовірність його виживання становить 1/2, а не 1/3, так як хтось із ув'язнених, А або С, буде помілован.Заключённий А таємно розповідає укладеним С, що В буде страчений. Ув'язнений С також схвильований, оскільки він все ще вважає, що ймовірність виживання укладеного А становить 1/3, а його вірогідність виживання зросла до 2/3.
Хто з них помиляється?
Відповідь: Прав укладений С.
1) Спочатку всі три в'язня мають один шанс із трьох бути помилуваними. Стражник сказав, що в'язень У буде страчений, а це означає, що події розгортатимуться по одному з двох сценаріїв:
- С буде помилуваний (1 шанс з 3)
- А буде помилуваний і монетка показала «В» (1 шанс з 6)
2) Це означає: шанси, що укладений А буде помилуваний, складають половину шансів того, що С буде помилуваний. А у ув'язненого В немає шансів бути помилуваним.
3) Отже, ймовірність А бути помилуваним залишається неіменної - 1/3, в той час як ймовірність С бути помилуваним збільшується до 2/3.
Якщо ви все ще сумніваєтеся, погляньте на повний перелік шансів кожного ув'язненого:
А якщо поглянути на приклад, де стражник повідомляє, що в'язень У буде страчений, ми побачимо, що в'язень З має в два рази більше шансів бути помилуваним, ніж в'язень А:
Так як нам відомо напевно, що В має 0% шансів бути помилуваним, і що С має в два рази більше шансів бути помилуваними, ніж А, то:
Стражник повідомляє, що В буде страчений
5. Ідеальний паралелограм з чотиристоронньої багатокутника
Намалюйте чотиристоронній багатокутник.
Він може бути будь-якого розміру, неправильної форми, увігнутий, опуклий і т. Д. Головне, щоб він мав чотири кути і прямі боку.
Відзначте точкою середину на кожній стороні багатокутника.
З'єднайте центральні точки між собою. Кожен раз у вас буде виходити ідеальний паралелограм.
