,
Ми знову отримали однорідне диференціальне рівняння другого порядку.
Дане рівняння нічим не відрізняється від того, яке було отримано для пружинного маятника в попередньому розділі. Отже, його рішення має такий же вигляд:, де.
Це означає, що в коливальному контурі з втратами енергії можуть відбуватися затухаючі коливання.
7.3. Характеристики затухаючих коливань
З рішення диференціального рівняння видно, що амплітуда згасаючих коливань зменшується з плином часу за законом. Чим більше коефіцієнт b, тим швидше зменшується амплітуда коливань. Тому його називають коефіцієнтом загасання.
Оскільки, остільки коливання загасають тим швидше, чим більше коефіцієнт тертя r і чим менше маса коливається вантажу m.
Цей висновок досить легко зрозуміти - чим більше тертя, яке перешкоджає всякому руху, тим швидше пре-крат коливальний рух реального осцилятора. Змен-шення маси означає, що зменшується запас кінетичної енергії осцилятора і тому при рівному терті енергія буде швидше витрачена на його подолання.
Якщо позначити символом t час, за яке амплітуда коливань зменшиться в е раз, то, т. Е. Bt = 1 і.
Таким чином, b є величина, зворотна часу, за яке амплітуда зменшується в е раз.
Час t називають часом релаксації
Як характеристики загасання коливань використовується також логарифмічний декремент загасання
,
де A (t) - амплітуда коливання в деякий момент t; A (t + T) - амплітуда коливання через один період затухаючого коливання.
З останнього співвідношення випливає, що l = bT.
Доцільність використання такої характеристики видно з наступного.
Оскільки l = bT. а b = 1 / t, остільки. Але Т - це час, за який здійснюється одне коливання, а t - час, за яке відбудеться, в загальному випадку, кілька коливань *.
,
де Nе - число коливань, в ході яких амплітуда зменшиться в е раз.
Таким чином, b і l є характеристиками загасання, які доповнюють один одного: b показує, як швидко загасають коливання, але при цьому не містить інформації про кількість коливань; l ж показує, за скільки коливань амплітуда зменшиться в е раз, але нічого не говорить про час, за яке відбудеться це зменшення.
З рішення диференціального рівняння також випливає, що частота згасаючих коливань w менше частоти коливань ідеального маятника Wо. .
Циклічні частоти w і Wо співвідносяться наступним чином. Припустимо, маятник здійснює затухаючі коливання з частотою w; якщо позбутися від тертя, він буде здійснювати гармонічні коливання з частотою Wо.
Оскільки, де r - коефіцієнт тертя, з ростом тертя частота згасаючих коливань зменшується.
Коливання, що здійснюються пружинним маятником з тертям, не є гармонійними.
* Під час цих коливань амплітуда якраз і зменшиться в е раз.
Вони також не є і періодичними. Однак у фізиці прийнято використовувати так званий період згасаючих коливань; при цьому під Т увазі час, за який здійснюється одне коливання.
7.4. критичне загасання
На якісній основі в розд. 7 було показано, що при досить великому терті коливання стануть неможливі. Виведена з положення рівноваги коливальна система просто повернеться в нього.
Такий режим в реальному коливальній системі настане, якщо b зросте так, що виконається умова, і стане уявної.
У цьому випадку рішення диффе-ренціального рівняння приймає такий вигляд:
,
т. е. х від часу залежить екс-поненціально, коливань немає. Система, яку вивели з положення рівноваги, дійсно поступово повертається в нього (див. Малюнок).
Загасання, при якому, називають критичним. При такому (і більшому) загасання коливання в системі неможливі.