Логічна функція - це складне висловлювання, яке виходить в результаті проведення логічних операцій над простими висловлюваннями.
Для утворення складних висловлювань найбільш часто використовуються базові логічні операції. виражаються за допомогою логічних зв'язок «і», «або», «не».
наприклад,
Багато людей не люблять сиру погоду.
Нехай А = «Багато людей люблять сиру погоду». Отримуємо логічну функцію F (A) = Не А.
Зв'язки "НЕ", "І", "АБО" замінюються логічними операціями інверсія. кон'юнкція. диз'юнкція. Це основні логічні операції. за допомогою яких можна записати будь-який логічний вираз.
Логічна формула (логічне вираз) - формула, яка містить лише логічні величини і знаки логічних операцій. Результатом обчислення логічного формули є ІСТИНА (1) або БРЕХНЯ (0).
Значення логічної функції залежить від значень вхідних в неї логічних змінних. Тому значення логічної функції можна визначити за допомогою спеціальної таблиці (таблиці істинності), в якій перераховані всі можливі значення входять логічних змінних і відповідні їм значення функції.
Основні (базові) логічні операції:
1. Логічне множення (кон'юнкція). від лат. konjunctio - пов'язую:
• Об'єднання двох (або декількох) висловлювань в одне за допомогою союзу І;
• в мовах програмування - And.
• Прийняті позначення: / \. •, і, and.
• В алгебрі множин кон'юнкції відповідає операція перетину множин.
Кон'юнкція істинна тоді і тільки тоді, все, що входять до неї висловлювання істинними.
приклад:
Розглянемо складене висловлювання «2 • 2 = 4 і 3 • 3 = 10». Виділимо прості висловлювання:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (тому що це справжнє висловлювання)
В = «3 • 3 = 10» = 0 (тому що це хибне висловлювання)
Тому, логічна функція F (A, B) = A / \ B = 1 / \ 0 = 0 (відповідно до таблиці істинності), тобто дане складене висловлювання хибне.
2. Логічне додавання (диз'юнкція). від лат. disjunctio - розрізняю:
• Об'єднання двох (або декількох) висловлювань в одне за допомогою союзу АБО;
• в мовах програмування - Or.
• Позначення: \ /, +, або, or.
• В алгебрі множин диз'юнкції відповідає операція об'єднання множин.
Диз'юнкція помилкова тоді і тільки тоді, все, що входять до неї висловлювання помилкові.
приклад:
Розглянемо складене висловлювання «2 • 2 = 4 або 2 • 2 = 5». Виділимо прості виска-зиванія:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (тому що це справжнє висловлювання)
В = «2 • 2 = 5» = 0 (тому що це хибне висловлювання)
Тому, логічна функція F (A, B) = A \ / B = 1 \ / 0 = 1 (відповідно до таблиці істинності), тобто дане складене висловлювання істинно.
3. Заперечення (інверсія). від лат. InVersion - перевертаю:
• Відповідає частці НЕ, словосполученнями НЕВІРНО, ЩО чи не є істиною, ЩО;
• в мовах програмування - Not;
• Позначення: чи не А, ¬А, not
• В алгебрі множин логічного заперечення відповідає операція доповнення до універсальної множини.
Інверсія я логічної змінної істинна, якщо сама змінна помилкова, і, навпаки, інверсія помилкова, якщо змінна істинна.
¬A = Невірно, що два помножити на два дорівнює чотирьом> = 0.
Розглянемо висловлювання А. "Місяць - супутник Землі"; тоді ¬А буде формулюватися так: "Місяць - НЕ супутник Землі".
Розглянемо висловлювання: «Невірно, що 4 ділиться на 3». Позначимо через А просте висловлювання «4 ділиться на 3». Тоді логічна форма заперечення цього висловлювання має вигляд ¬А
Пріоритет логічних операцій:
Операції в логічному вираженні виконуються зліва направо з урахуванням дужок в наступному порядку.
1. інверсія;
2. кон'юнкція;
3. диз'юнкція;
Для зміни зазначеного порядку виконання логічних операцій використовуються круглі дужки.
Складові логічні вираження алгебри висловлювань називають формулами.
Істинно або хибно значення формули можна визначити законами алгебри логіки, не звертаючись до сенсу:
F = (0 \ / 1) / \ (¬0 \ / ¬1) = (0 \ / 1) / \ (1 \ / 0) = 1 / \ 1 = 1 - істина
F = (¬0 / \ ¬1) \ / (¬1 \ / ¬1) = (1 / \ 0) \ / (0 \ / 0) = 0 \ / 0 = 0 - брехня