Функції $ y_1 (x), \; y_2 (x), \; y_3 (x), \ ldots, y_n (x) $ називаються лінійно залежними на деякій множині $ T $, якщо існують такі константи $ \ alpha_1, \; \ alpha_2, \; \ alpha_3, \ ldots, \ alpha_n $, що $ \ forall x \ in T $ виконується рівність:
$$ (1) \, \, \, \, \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ ldots + \ alpha_n \ cdot y_n = 0 $$
Примітка до термінології: показати \ приховати
Умова (2) можна викласти і в такому формулюванні: серед коефіцієнтів $ \ alpha_i $ є хоча б один, не рівний нулю.
Нескладно переконатися в равносильности формулювань. Рівність $ \ alpha _ ^ + \ alpha _ ^ + \ ldots + \ alpha _ ^ = 0 $ можливо в тому і тільки в тому випадку, коли $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $. Якщо ж $ \ sum _ ^ \ alpha _ ^ \ neq 0 $, то рівність $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ ldots = \ alpha_n = 0 $ не виконано, тобто хоча б один з коефіцієнтів $ \ alpha_i $ відмінний від нуля.
Якщо ж рівність (1) можливо лише за умови:
то функції $ y_1 (x), \; y_2 (x), \; y_3 (x), \ ldots, y_n (x) $ називають лінійно незалежними на безлічі $ T $. По суті, умова (3) рівносильне такому: всі коефіцієнти $ \ alpha_i $ дорівнюють нулю.
Для двох функцій нескладно вивести просте правило: якщо $ \ forall x \ in T $ $ \ frac \ neq const $ на деякому інтервалі $ T = (a; b) $, то функції $ y_1 (x) $ і $ y_2 (x ) $ лінійно незалежні на $ T $. Якщо ж $ \ forall x \ in T $ $ \ frac = const $ на $ T $, то функції $ y_1 (x) $ і $ y_2 (x) $ лінійно залежні на $ T $.
Обгрунтування цього правила: показати \ приховати
Припустимо, що $ \ frac \ neq const $ на $ T $, проте функції $ y_1 (x) $ і $ y_2 (x) $ лінійно залежні. Якщо функції лінійно залежні, то існують такі константи $ \ alpha_1 $ і $ \ alpha_2 $, нерівні нулю одночасно, що виконується рівність: $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $. Нехай, наприклад, $ \ alpha_1 \ neq 0 $. Тоді, з урахуванням $ y_2 (x) \ neq 0 $ на $ T $, отримаємо: $ \ frac = - \ frac = const $, що суперечить допущенню $ \ frac \ neq const $.
Якщо ж $ \ frac = const $, то $ y_1 (x) -C \ cdot y_2 (x) = 0 $ на $ T $, тобто $ \ Alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = -C $. При цьому $ \ alpha _ ^ + \ alpha _ ^ = 1 + C ^ 2 \ neq 0 $, тобто функції $ y_1 (x) $ і $ y_2 (x) $ лінійно залежні на $ T $.
Всі приклади, зазначені в цій темі, будуть спиратися на визначення і властивість, наведені вище. Природно, що в загальному випадку застосування таких визначень трохи важко. Існує кілька критеріїв, які дозволяють спростити процес перевірки функцій на лінійну залежність. На сайті розглянуті два таких способи: за допомогою визначника Вронського і визначника Грама.
З'ясувати, чи є функції $ y_1 (x) = x ^ 2 + 2x-4; \; y_2 (x) = - 4x ^ 2 + 7x-1; \; y_3 (x) = - 5x ^ 2 + 20x-14 $ лінійно залежними або лінійно незалежними на безлічі $ R $.
Розглянемо лінійну комбінацію цих функцій: $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 $. Якщо $ \ forall x \ in R $ рівність $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ виконується тільки при $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $, то розглядаються функції лінійно незалежні . Якщо ж $ \ forall x \ in R $ рівність $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ можливо за умови, що хоча б один з коефіцієнтів $ \ alpha_i $ не дорівнює нулю, то функції лінійно залежні.
Підставами в вираз $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ задані функції:
Розкриємо дужки і перегруппіруем складові:
$$ \ alpha_1 \ cdot x ^ 2 + 2 \ alpha_1 \ cdot x-4 \ alpha_1-4 \ alpha_2 \ cdot x ^ 2 + 7 \ alpha_2 \ cdot x- \ alpha_2-5 \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + 20 \ alpha_3 \ cdot x-14 \ alpha_3 = 0; $$ $$ (\ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3) \ cdot x ^ 2 + (2 \ alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3) \ cdot x + (- 4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 ) = 0. $$
Остання рівність можливо лише в тому випадку, коли коефіцієнти при ступенях змінної $ x $ одночасно дорівнюють нулю, тобто
$$ \ left \ \ alpha_1-4 \ alpha_2-5 \ alpha_3 = 0; \\ 2 \ alpha_1 + 7 \ alpha_2 + 20 \ alpha_3 = 0; \\ -4 \ alpha_1- \ alpha_2-14 \ alpha_3 = 0. \ End \ right. $$
Ми отримали однорідну систему лінійних рівнянь. Нам немає необхідності в її вирішенні, потрібно лише встановити кількість рішень. Якщо рішення лише одне - нульове (або, в іншій термінології, тривіальне), тобто $ \ Alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = 0 $, то функції лінійно незалежні. Якщо ж є інші рішення, крім нульового, то функції лінійно залежні. Знайдемо ранг матриці системи $ A = \ left (\ begin 1 -4 -5 \\ 2 7 20 \\ -4 -1 -14 \ end \ right) $ і ранг розширеної матриці системи: $ \ tilde = \ left (\ begin 1 -4 -5 0 \\ 2 7 20 0 \\ -4 -1 -14 0 \ end \ right) $, а потім застосуємо теорему Кронекера-Капеллі.
Отже, $ rang \ tilde = rang A = 2 <3$, т.е. система имеет бесконечное количество решений. Следовательно, функции $y_1;\;y_2;\;y_3$ линейно зависимы. При желании можно отыскать один из этого бесконечного множества наборов $\alpha_1; \; \alpha_2\; \alpha_3$, в котором хотя бы один элемент не равен нулю. Продолжим решение системы уравнений, вычеркнув нулевую строку и перенеся третий столбец (он соответствует переменной $\alpha_3$) за черту:
Звідси отримуємо рішення: $ \ left \<\begin&\alpha_1=-3\alpha_3;\\&\alpha_2=-2\alpha_3;\\&\alpha_3=\alpha_3;\;\alpha_3 \in R \end \right.$ Например, подставив $\alpha_3=-1$, получим: $\alpha_1=3;\; \alpha_2=2$. Несложно убедиться непосредственной проверкой, что равенство $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ при найденных коэффициентах будет выполнено $\forall x\in R$:
$$ 3 \ cdot y_1 + 2 \ cdot y_2-y_3 = 3 \ cdot (x ^ 2 + 2x-4) +2 \ cdot (-4x ^ 2 + 7x-1) - (- 5x ^ 2 + 20x-14 ) = 0. $$
Отже, існують такі константи $ \ alpha_1; \; \ alpha_2; \; \ alpha_3 $ (наприклад, $ \ alpha_1 = 3; \; \ alpha_2 = 2; \; \ alpha_3 = -1 $), в повному обсязі одночасно рівні нулю , що на $ R $ виконується тотожність $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 \ equiv 0 $. Отже, розглянуті функції лінійно залежні.
Дослідити на лінійну залежність такі функції: $ y_1 (x) = x \ ln (x + 4); \; y_2 (x) = \ ln ^ 2 (x + 4) $.
Дослідження проведемо в інтервалі $ T = (- 4; + \ infty) $, який представляє собою область визначення заданих функцій. Застосуємо правило для визначення лінійної залежності двох функцій, вказане на початку сторінки. Так як при $ x \ in (-4; + \ infty) $ маємо: $ \ frac = \ frac \ neq const $, то ці функції лінійно незалежні на $ T = (- 4; + \ infty) $.
Дослідити на лінійну залежність функції: $ y_1 (x) = 1; \; y_2 (x) = x; \; y_3 (x) = x ^ 2; \; y_4 (x) = x ^ 3; \; y_5 (x) = x ^ 4 $.
Область визначення цих функцій є вся числова пряма, тобто $ X \ in R $. Розглянемо рівність:
$$ (4) \, \, \, \, \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = 0 $ $
Якщо рівність (4) для всіх $ x \ in R $ можливо лише за умови $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $, то задані функції лінійно незалежні. Якщо ж рівність (4) $ \ forall x \ in R $ виконується на наборі констант $ \ alpha_1 $, $ \ alpha_2 $, $ \ alpha_3 $, $ \ alpha_4 $, $ \ alpha_5 $, серед яких хоча б одна відмінна від нуля, то задані функції лінійно залежні. Отже, потрібно досліджувати рівність (4).
У лівій частині рівності (4) розташований многочлен, порядок (або, в іншій термінології, ступінь) якого не перевищує $ 4 $. Наприклад, якщо $ \ alpha_1 = 2; \; \ Alpha_2 = 0; \; \ alpha_3 = 0; \; \ alpha_4 = 7; \; \ alpha_5 = 0 $, то отримаємо многочлен третього порядку: $ \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = 7x ^ 3 + 2 $. Тобто в лівій частині рівності (4) може бути многочлен четвертого, третього, другого, першого і нульового порядків.
Розглянемо випадок, коли в лівій частині рівності (4) розташований многочлен, порядок якого не дорівнює нулю (серед констант $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ хоча б одна не дорівнює нулю). Будь многочлен першого порядку може звернутися в нуль тільки в одній точці (тобто існує тільки одне значення $ x $, при якому многочлен першого порядку дорівнює нулю). Многочлен другого порядку дорівнює нулю не більше, ніж в двох точках; многочлен третього порядку - не більше, ніж в трьох точках; многочлен четвертого порядку звертається в нуль не більше, ніж в чотирьох точках. Тобто якщо серед констант $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ є хоча б одна, відмінна від нуля, то рівність (4) може бути виконано не більш, ніж при чотирьох значеннях $ x $ ( а не для всіх $ x \ in R $).
Розглянемо ситуацію, коли серед констант $ \ alpha_2; \; \ alpha_3; \; \ alpha_4; \; \ alpha_5 $ немає жодної, відмінною від нуля, тобто $ \ Alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. В цьому випадку в лівій частині рівності (4) отримаємо многочлен нульового порядку $ \ alpha_1 \ cdot 1+ \ alpha_2 \ cdot x + \ alpha_3 \ cdot x ^ 2 + \ alpha_4 \ cdot x ^ 3 + \ alpha_5 \ cdot x ^ 4 = \ alpha_1 $. А саме равенсто (4) стане таким: $ \ alpha_1 = 0 $. Отже, для многочлена нульового порядку виконання рівності (4) можливо лише при $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $.
Підіб'ємо підсумки: якщо в правій частині рівності (4) варто многочлен ненульового порядку, то рівність (4) не може бути виконано при всіх $ x \ in R $. Рівність (4) може бути виконано для всіх $ x \ in R $ тільки коли в правій частині стоїть многочлен нульового порядку, однак це означає $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $. Так як рівність (4) виконується для всіх $ x \ in R $ тільки за умови $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = \ alpha_3 = \ alpha_4 = \ alpha_5 = 0 $, то задані функції лінійно незалежні на $ R $.
Дослідити на лінійну залежність функції: $ y_1 (x) = 4; \; y_2 (x) = \ arcsin x; \; y_3 (x) = \ arccos x $ на відрізку $ [- 1; 1] $.
Так як $ \ arcsin x + \ arccos x = \ frac \; \ Forall x \ in [-1; 1] $ то:
$$ \ arcsin x + \ arccos x = \ frac \ cdot4; \; \ Arcsin x + \ arccos x- \ frac \ cdot4 = 0; \; 1 \ cdot y_1 + 1 \ cdot y_2 + \ left (- \ frac \ right) \ cdot y_3 = 0 $$
Отже, існує такий набір констант $ \ alpha_1; \; \ Alpha_2; \; \ Alpha_3 $ (наприклад, $ \ alpha_1 = 1; \; \ alpha_2 = 1; \; \ alpha_3 = - \ frac $), серед яких є хоча б одна константа, відмінна від нуля, що рівність $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 + \ alpha_3 \ cdot y_3 = 0 $ буде виконано для всіх $ x \ in [-1; 1] $. Це означає, що функції $ y_1 (x) = 4; \; y_2 (x) = \ arcsin x; \; y_3 (x) = \ arccos x $ лінійно залежні на відрізку $ [- 1; 1] $.
Дослідити на лінійну залежність функції: $ y_1 (x) = x; \; y_2 (x) = | x | $ в їх області визначення.
Областю визначення заданих функцій є все безліч дійсних чисел, тобто $ X \ in R $. Функції будуть лінійно залежними, якщо існує такий набір констант $ \ alpha_1 $ і $ \ alpha_2 $, що для всіх значень $ x \ in R $ виконано рівність $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $ (тобто . $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $), причому хоча б один з коефіцієнтів ($ \ alpha_1 $ або $ \ alpha_2 $) не дорівнює нулю. Якщо ж виконання рівності $ \ alpha_1 \ cdot y_1 + \ alpha_2 \ cdot y_2 = 0 $ при $ \ forall x \ in R $ можливо лише при $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, то задані функції будуть лінійно незалежними. Розглянемо рівність $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ детальніше.
Якщо $ x≥ 0 $, то $ | x | = x $, тому рівність $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ стане таким: $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot x = 0 $, $ x \ cdot (\ alpha_1 + \ alpha_2) = 0 $. Рівність $ x \ cdot (\ alpha_1 + \ alpha_2) = 0 $ має бути виконано при всіх $ x≥ 0 $, тому $ \ alpha_1 + \ alpha_2 = 0 $.
Якщо ж $ x <0$, то $|x|=-x$, поэтому равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ станет таким: $\alpha_1\cdot x-\alpha_2\cdot x=0$, $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$. Равенство $x\cdot(\alpha_1-\alpha_2)=0$ должно быть выполнено при всех значениях $x <0$, поэтому $\alpha_1-\alpha_2=0$.
Отже, щоб рівність $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ було вірним для всіх $ x \ in R $, слід дотримуватися двох умов:
Отримана система має лише тривіальний (нульове) рішення: $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $. Отже, виконання рівності $ \ alpha_1 \ cdot x + \ alpha_2 \ cdot | x | = 0 $ при $ \ forall x \ in R $ можливо лише в разі $ \ alpha_1 = \ alpha_2 = 0 $, тому функції лінійно незалежні на R.
Дослідження на лінійну залежність за допомогою визначників Вронського і Грама вказані в подальших темах сайту.