5.2. Власні значення і власні вектори лінійного оператора
5.3. пов'язаний оператор
Визначення. Нехай A - лінійний оператор, який діє в R n. Число називається власним значенням, а ненульовий вектор - відповідним власним вектором лінійного оператора A. якщо вони пов'язані між собою співвідношенням.
приклади- Нульовий оператор. , Тобто - власне значення нульового оператора, а власні вектори - все ненульові вектори простору R n.
- Тотожний (одиничний) операторI: - тобто власне значення тотожного оператора, а власні вектори - все ненульові вектори пространсва R n.
- Оператор P2- оператор проектування простору R 3 на підпростір R 2 паралельно вектору:, тобто - власне значення оператора, проектування, а відповідні власні вектори - все ненульові вектори R 3. третя координата яких дорівнює нулю:.
Нехай A - матриця оператора в деякому базисі в R n. Тоді для власного значення і вектора-стовпця координат відповідного власного вектора справедливо:
Тобто власні значення оператора і відповідні їм власні вектори пов'язані співвідношенням. де E - одинична матриця, а - нульовий вектор R n.
Це означає, що власний вектор оператора є ненульовим рішенням лінійної однорідної системи. Однорідна система має ненульовий розв'язок тоді і тільки тоді, коли визначник матриці системи дорівнює нулю. Отже, число є власним значенням оператора A тоді і тільки тоді, коли. Власні значення лінійного оператора можуть бути обчислені як коріння рівняння, а власні вектори - як рішення відповідних однорідних систем.
Визначення. Многочлен називається характеристичним многочленом оператора, а рівняння - характеристичним рівнянням оператора.
приклади- Нульовий оператор. , Матриця нульового оператора - нульова матриця відповідного порядку, тобто тобто - єдине власне значення нульового оператора, а відповідні власні вектори - все ненульові вектори простору R n.
- Тотожний (одиничний) операторI: матриця тотожного оператора - одинична матриця відповідного порядку, тобто тобто - єдине власне значення тотожного оператора, а відповідні власні вектори - все ненульові вектори простору R n.
- Оператор P2- оператор проектування простору R 3 на підпростір R 2 паралельно вектору:, тоді матриця тотожного оператора - одинична матриця відповідного порядку, тобто тобто і - власні значення оператора. Знайдемо соотвтетствующіе власні вектори. Нехай, тоді відповідні власні вектори - ненульові рішення системи тобто
- власний вектор оператора, що відповідає власному значенню і, отже, всі вектори виду - власні вектори оператора, що відповідають власному значенню.
Тепер покладемо, тоді відповідні власні вектори - ненульові рішення системи тобто
- лінійно незалежні вектори, які є власними векторами оператора, що відповідають власним значенням і, отже, всі вектори виду - власні вектори оператора, що відповідають власному значенню.
4.Оператор U j повороту простору R 2 на кут j щодо початку координат проти годинникової стрілки:.
Матриця оператора, тоді
Характеристичне рівняння має єдиний корінь при і при,. Якщо,, і тобто відповідні власні вектори - все ненульові вектори простору R 2.
При - оператор повороту не має власних векторів.
І, нарешті, при і,, оператор повороту збігається з тотожним оператором, власні значення і власні вектори якого обчислені вище.
Для власних значень і власних векторів лінійного оператора справедливі наступні твердження:
1) характеристичний многочлен оператора, що діє в R n є многочленом n-го ступеня щодо і не залежить від вибору базису;
2) лінійний оператор, який діє в R n має не більше n різних власних значень;
3) власні вектори, що відповідають різним власним значенням, лінійно незалежні.
Останнє твердження на лекції доведено.
Якщо лінійний оператор, який діє в R n. має n різних власних значень, то власні вектори оператора утворюють базис в R n.
Визначення. Базис, складений з власних векторів лінійного оператора називають власним базисом оператора.
Якщо якщо - власний базис оператора A. то, оскільки то матриця опреатора в цьому базисі - діагональна матриця з власними значеннями на діагоналі.
Очевидно, справедлива наступна теорема.
Теорема. Матриця лінійного оператора має діагональну форму тоді і тільки тоді, коли вона записана в базисі, складеному з власних векторів.
Теорема на лекції доведена.
Нагадаємо, що в просторі R n визначений скалярний добуток векторів:
Визначення. Якщо існує такий оператор B, що для будь-яких і з R n справедливо. то оператор B називається зв'язаним оператором до оператора A і позначається A *:
Приклад. Розглянемо оператор U j повороту простору R 2 на кут j щодо початку координат проти годинникової стрілки:
Тобто оператор, пов'язаний оператору повороту простору R 2 на кут j щодо початку координат проти годинникової стрілки - оператор повороту простору R 2 на кут - j щодо початку координат проти годинникової стрілки.
Матриці операторів повороту на кут j і кут - j мають, відповідно, вид:
Теорема. Якщо A - лінійний оператор в R NИ A - його матриця в деякому ортонормированном базисі, то у оператора є зв'язаний оператор і матриця сполученого оператора в тому ж базисі - це матриця A T.
Теорема доведена на лекції.
Неважко довести (на лекції деякі властивості доведені) такі властивості сполученого оператора:- що пов'язаний до лінійного оператору - лінійний оператор;
- характеристичні многочлени операторів і збігаються.
Визначення. Якщо для будь-яких і з R n справедливо. то оператор A називається самосопряженних оператором.
Можна показати (на лекції не доводяться), що у самосопряженних оператора існує власний ортонормованій базис.
Оскільки A = A *, то матриця самосопряженних оператора - симетрична матриця.
З усього попереднього викладу випливає, наступний алгоритм приведення матриці лінійного оператора до діагональної формі (якщо матрицю оператора можна привести до діагональної формі). Цей алгоритм соостоіт в наступному:- записуємо матрицю оператора A в вихідному базисі;
- записуємо характеристичне рівняння і обчислюємо його коріння (знаходимо власні значення оператора);
- знаходимо власний базис оператора (якщо він існує);
- записуємо діагональну форму матриці оператора - діагональну матрицю з власними значеннями на діагоналі.
- записуємо матрицю C, стовпцями якої є координати власних векторів (векторів власного базису);
- за формулою C -1 AC знаходимо діагональну форму матриць оператора - матрицю оператора в власному базисі.