Перш, ніж почати розмову про прибутковість, визначимося з двома поняттями, які часто викликають плутанину.
По-перше, визначимося з тим, що таке «відсоток»?
Слово «відсоток» походить від латинського «pro centrum» - «за сто». Головне значення слова «відсоток» - сота частка числа, прийнятого за ціле, одиницю. Позначається знаком «%».
Якщо ви в Excel введете в клітинку будь-яке число без значка відсотка (наприклад, «5»), а потім поміняєте формат даного осередку на «процентний», то побачите в осередку число 500,00% (тобто в сто разів більше) . Якщо ж ви введете в осередок Excel число зі значком відсотка (наприклад, «8%»), а потім поміняєте формат осередки на «загальний» або «числовий», то побачите в осередку число «0,08» (тобто в сто разів менше).
Далі по тексту я буду час від часу приводити значення і в процентному форматі, і в числовому. Якщо після числа стоїть значок%, то, щоб привести його до числовому формату, потрібно розділити число на 100. Тобто 20% = 0,2. Якщо ж, навпаки, ви хочете число привести до процентному формату, то його потрібно помножити на 100. Тобто 1,1 = 110%.
По-друге, хочу звернути вашу увагу на те, як співвідносяться між собою термінами «виріс на x%» і «виріс в y раз».
Зміна на x% означає зміну в (1 + x) раз. Наприклад, фраза «індекс виріс на 10%» означає те ж саме, що і «індекс змінився в 1,1 рази». Якщо ціна зросла на 100%, значить, вона виросла в два рази. Падіння ціни на акції на 25% (зміна -25%) еквівалентно зміни ціни в 0,75 раз.
Аналогічно, зміни в y раз еквівалентний зміни на (y - 1)%. При цьому якщо y> 1, то кажуть про зростання на (y - 1)%, а якщо y <1, то говорят о падении на (y – 1)%. Например, изменение в 1,15 раз – это то же самое, что изменение на +15% (или рост на 15%). Изменение в 0,8 раз – это изменение на –20% (минус двадцать процентов) или падение на 20%.
Простий і складний відсоток
Нагадаю коротко різницю між простим і складним відсотком.
Припустимо, що якийсь актив зростає на 10% в рік (тобто має прибутковість 10% річних). Ви інвестуєте в зазначений актив 100 рублів. Яку суму ви будете мати через два роки?
Якщо ви думаєте, що у вас буде 120 рублів, то ви, безумовно, помиляєтесь, забуваючи про складний відсоток. Через рік у вас буде сума в 110 рублів, а ось 10% на другому році інвестицій будуть відраховуватися вже від нової суми в 110 рублів, тому через два роки ви будете мати вже 121 рубль.
Складний відсоток має на увазі реінвестування капіталу, тому при інвестиціях, що підкоряються принципу складного відсотка, капітал збільшується експоненціально. Простий відсоток не передбачає реінвестування капіталу, тому капітал зростає лінійно.
Однак експоненціальне збільшення капіталу спостерігається не тільки в разі явного нарахування «відсотків на відсотки», як у випадку з банківським депозитом. Експоненціальне зростання вартості ми спостерігаємо на тривалих проміжках часу для будь-якого ринкового активу. Наприклад, вартість акцій, фондових індексів, паїв інвестиційних фондів, товарів на товарних ринках (золото, срібло, нафту, зерно і т.п.), нерухомості і т.п. на тривалих періодах часу також нагадує експоненту, підкоряючись правилом складного відсотка.
Середньоарифметична і середньорічна дохідність
Часто доводиться вирішувати зворотну задачу.
Відомо, що вартість якогось активу за два роки зросла на 21%. Як розрахувати річну прибутковість, яка дозволила б досягти такого результату?
Думаю, з прикладу вище очевидно, що напрошується відповідь «розділити 21 на 2» - неправильний. 21/2 = 10,5%. А, як ми вже знаємо, правильна відповідь - 10,0%.
10,5% - середньоарифметична прибутковість.
10,0% - середньорічна дохідність (часто також вживають термін «середня прибутковість в річному обчисленні» або «середньогеометричними прибутковість»).
Як бачите, це не одне і те ж.
Щоб це стало зовсім очевидно, спробуйте відповісти на наступне питання.
Припустимо, в перший рік вартість активу збільшилася на 100% (зміна - + 100%), а в другій рік зменшилася на 50% (зміна - -50%). Яка середня прибутковість інвестицій в цей актив за два роки? Очевидно, що середньоарифметичне «25%» - невірна відповідь. Правильна відповідь - 0%. Якщо спочатку вартість ваших активів спочатку в два рази зросла (+ 100%), а потім в два рази впала (-50%), то в підсумку вона не змінилася.
Розрахунок середньорічної прибутковості
Виведемо формулу для розрахунку середньорічної прибутковості.
• A (0) - вихідна кількість грошей,
• А (n) - кількість грошей через n років.
• x - річна прибутковість (у відсотках).
Значком «^» я далі буду позначати зведення в ступінь.
Результат через 1 рік = A (1) = A (0) * (1 + x)
Результат через 2 роки = A (2) = A (1) * (1 + x) = A (0) * (1 + x) ^ 2
Результат через 3 роки = A (3) = A (2) * (1 + x) = A (0) * (1 + x) ^ 3
.
Результат через n років = A (n) = A (n-1) * (1 + x) = A (0) * (1 + x) ^ n
Одиниці в формулах з'явилися через те, що ми використовували в розрахунках річну прибутковість в процентному форматі, (x) (тобто ми розглядаємо зміну як зростання на + 10%, x = 0,1). Якщо ж замість цього ми використовуємо зміна за рік в разах (y) (тобто ми розглядаємо зміну як зростання в 1,1 рази, y = 1,1), то одиниці з формул зникнуть:
• A (0) - вихідна кількість грошей,
• А (n) - кількість грошей через n років.
• y - щорічна зміна (в разах)
Результат через 1 рік = A (1) = A (0) * y
Результат через 2 роки = A (2) = A (1) * y = A (0) * y ^ 2
Результат через 3 роки = A (3) = A (2) * y = A (0) * y ^ 3
.
Результат через n років = A (n) = A (n-1) * y = A (0) * y ^ n
Як порахувати річну прибутковість x, якщо ми знаємо результат через n років?
Якщо за два роки був показаний результат A (2) = 21%, тоді річна прибутковість x обчислюється за формулою:
x = √ ((A (2) / A (0)) - 1. Чи, що те ж саме, x = (A (2) / A (0)) ^ (1/2) - 1.
Або, якщо ми використовуємо в формулах зміни не «у відсотках», а «в разах», то
y = √ (A (2) / A (0)). Або, що те ж саме, y = (A (2) / A (0)) ^ (1/2).
Тут √ (число) - квадратний корінь з числа, (число) ^ (1/2) - число в ступені 1/2. Для тих, хто встиг призабути математику зі шкільної програми, нагадаю, що витяг квадратного кореня з числа і зведення числа в ступінь 1/2 - це одне і те ж.
Перевіряємо. √ (0,21 + 1) - 1 = √ (1,21) - 1 = 1,1 - 1 = 0,1 = 10%
Ви поклали на банківський вклад 100.000 рублів і через 4 роки зняли 150.000 рублів, тобто сума ваших коштів зросла за 4 роки на 50%. Яка середня прибутковість в річному обчисленні?
Прибутковість = 4√ (1 + 0,5) - 1 = (1 + 0,5) ^ (1/4) - 1 = 0,1067 = 10,67% річних
4√ (x) - це корінь четвертого ступеня з x, (x) ^ (1/4) - це x в ступені (1/4). Нагадаю, що це одне і те ж. Також (для тих, хто зовсім забув математику) нагадаю, що 4√ (x) = √ (√ (x)). Щоб витягти корінь четвертого ступеня на калькуляторі, потрібно просто натиснути значок «√» двічі.
Середньорічна доходність в Excel
Як порахувати те ж саме в Excel?
Для вилучення квадратного кореня в Excel існує функція = КОРІНЬ (число). Наприклад, = КОРІНЬ (1,44) дасть значення 1,2.
А ось функції вилучення кореня довільного ступеня в Excel немає. Тому замість цього доведеться використовувати функцію = РІВЕНЬ (число; ступінь). Щоб взяти корінь 5-ої ступеня з числа, пишете = РІВЕНЬ (число; 1/5).
Функція СРГЕОМ обчислює результат за формулою: СРГЕОМ (y1; y2 ;.; yN) = N√ (y1 * y2 *. * YN)
Ще раз звертаю увагу, що спроба використовувати функцію СРГЕОМ для аргументів «у відсотках» дає невірні результати. Перш ніж використовувати цю функцію для розрахунку середньорічної прибутковості, необхідно перерахувати «відсотки» в «рази».
За 2 роки і 6 місяців вартість паю в інвестиційному фонді зросла на 42,7%. Яка середньорічна дохідність фонду?
На звичайному бухгалтерському калькуляторі (без функції зведення в ступінь) ви це вже не вважаєте.
Набираєте в осередку Excel: = РІВЕНЬ (1 + 42,7%; 1 / 2,5) -1. Чи отримуєте відповідь: 15,28% річних. Не забудьте встановити формат осередки як «процентний», а також відображення потрібної кількості знаків після коми. Інакше ви побачите результат 0,15 або 0,1528, що, насправді, один і той же, однак, може ввести вас в оману.
Зверніть увагу на те, що в Excel ви можете змішувати в формулах процентний і числовий формати, потрібно тільки не забувати, де потрібно ставити (або, навпаки, не ставити) значок «%». Наприклад, формула може бути написана так: = РІВЕНЬ (1,427; 1 / 2,5) -1. Або так: = РІВЕНЬ (100% + 42,7%; 1 / 2,5) -1. Результат від цього не зміниться.
Також зверніть увагу на те, що, на відміну від банківського вкладу, вартість паю ПІФу зростає нерівномірно - в один період часів вартість паїв зростає, в інші - падає. Проте, для порівняння між собою різних варіантів інвестицій, нам буває необхідно знати, якою мала б бути річна прибутковість інвестицій з рівномірним графіком зростання, щоб дати нам той же результат, що і вкладення в актив з нерівномірним зростанням. Ця прибутковість і називається середньорічний прибутковістю (або середньою прибутковістю в річному обчисленні). Ще раз нагадую, що не можна плутати її зі середньоарифметичної прибутковістю.
Середньорічна доходність - це прибуток, який ви повинні заробляти щороку, щоб отримати результат, рівний результату при отриманні різних річних прибутків.
За даними Держкомстату РФ (gks.ru) споживча інфляція в Росії становила (по роках):
Споживчий кошик за 8 років подорожчала в 2,777 раз (або на + 177,7%, що одне й те саме).
Це еквівалентно середньорічному зростанню в 8√ (2,777). Щоб порахувати це в Excel, необхідно задати формулу = РІВЕНЬ (2,777; 1/8). Отримаємо середньорічне зростання в 1,1362 раз, що відповідає середньорічній інфляції 13,62% в рік.
Є й інший варіант.
Вводимо в осередок Excel функцію = СРГЕОМ (1,202; 1,186; 1,151; 1,120; 1,117; 1,109; 1,090; 1,119). Отримуємо 1,1362, а потім віднімаємо одиницю, щоб отримати відсотки, і отримуємо 13,62%.