Отримаємо рівняння плоскої хвилі, що розповсюджується в напрямку, що утворює з осями координат х, у, z кути α, β, γ Нехай коливання в площині, що проходить через початок координат, мають вигляд.
Візьмемо хвильову поверхню (площину), віддалену від початку координат на відстані l. Коливання в цій площині будуть відставати від коливань в точці О (ріс.8.3) на час тоді рівняння хвилі
Висловимо відстань l через радіус-вектор точок розглянутої поверхні. Для цього введемо одиничний вектор нормалі до хвильової поверхні. Скалярний добуток
Підставами значення l в рівняння (8.4) і внесемо в дужки
Ставлення одно хвильовому числу k. Вектор рівний по модулю хвильовому числу і має напрям уздовж нормалі до хвильової поверхні називається хвильовим вектором. Ввівши вектор. отримаємо
Щоб перейти від радіуса - вектора точки до її координатами х, у, z. висловимо скалярний твір через проекції векторів на координатні осі:
Тоді рівняння плоскої хвилі набуває вигляду:
Геометричне місце точок, хто вагається в одній фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильова поверхня, що відокремлює частину простору, в якій коливання відбуваються, від тієї частини, де ще немає сумнівів, називається фронтом хвилі. Саме фронт хвилі переміщається зі швидкістю рівною фазової швидкості хвилі. У разі одновимірної синусоїдальної хвилі рівняння хвильової поверхні має наступний вигляд:
Цій умові в кожен момент часу задовольняє тільки одна точка осі ОХ, координата х якої дорівнює:
Різним значенням фази хвилі φ відповідають різні хвильові поверхні, кожна з яких в одновимірних хвилях вироджується в точку. З останньої формули видно, що хвильові поверхні з плином часу переміщаються в середовищі зі швидкістю, що дорівнює, тобто фазової швидкістю, яка дорівнює
Таким чином, для синусоїдальної хвилі швидкість розповсюдження поверхні постійної фази збігається зі швидкістю поширення хвилі.
Зафіксуємо якесь значення фази, що стоїть в рівнянні (2.2), поклавши її постійної для даної точки
Цей вислів дає зв'язок між часом t і координатою х, в якій зафіксоване значення фази здійснюється в даний момент. Визначивши. ми знайдемо швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Диференціюючи це співвідношення, отримаємо
Таким чином, швидкість поширення хвилі V в рівнянні (2.2) є швидкість переміщення фази, в зв'язку з чим її називають фазовою швидкістю.
Складемо рівняння, яке дозволить знаходити зміщення будь-якої точки хвилі в будь-який момент часу. Нехай в точці В рис.8.2 знаходиться джерело коливань. Хвилі зі швидкістю v поширюються від джерела коливань вздовж прямої.
Рівняння коливань точки В задано у вигляді:
Всі точки вправо від В, наприклад точка С, повторюють коливання точки В з деяким запізненням. Напишемо рівняння коливань точки С. Якщо точка В коливається в плині часу t, то коливання дійдуть до точки С після закінчення часу. тому час коливань точки С буде менше t і складе. Тоді рівняння коливань точки С запишеться:
Відстань від точки В до точки С, що дорівнює х, хвиля проходить зі швидкістю. звідки. З урахуванням рівняння хвилі буде мати вигляд:
Якщо в будь-якому місці пружною (твердої, рідкої або газоподібної) середовища порушити коливання її часток, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання почне поширюватися в середовищі з певною швидкістю v. Процес поширення коливань називається хвилею. Частинки середовища, в якій поширюється хвиля, не переносяться хвилею, вони лише здійснюють коливання біля своїх положень рівноваги. Залежно від напрямку коливання частинок по відношенню до напрямку, в якому поширюється хвиля, розрізняють поздовжні і поперечні хвилі. У поздовжньої хвилі частинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі. У поперечної хвилі частинки середовища коливаються в напрямках, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі. Механічні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що володіє опором зсуву. Тому в рідкому і газоподібному середовищах можливе виникнення тільки поздовжніх хвиль. У твердій середовищі можливе виникнення як поздовжніх, так і поперечних хвиль. У поздовжніх хвилях внаслідок збігу напрямків коливань частинок і хвилі з'являються згущення і розрідження.
Поширення хвиль в пружному середовищі.
На рис.8.1 показано рух частинок при поширенні в середовищі поперечної хвилі. Номерами 1,2,3 і т.д. позначені частки, віддалені один від одного на відстані, рівному. тобто на відстані, прохідному хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частками. У початковий момент часу (t = 0) всі точки розташовані на прямій і жодна з них не виходить з положення рівноваги. Наведемо точку 1 в гармонійнеколивання з періодом Т, спрямоване перпендикулярно лінії 1-5. Гак як частки середовища пов'язані між собою силами пружності, вони теж приходять в коливання, але з деяким запізненням. Через чверть періоду точка 1 відхилиться від лінії рівноваги на максимальне зміщення. Коливання почали все точки, що лежать зліва від точки 2. Після закінчення часу почне підніматися вгору і точка 2. При. перша точка повернеться в стан рівноваги, друга точка досягне максимального відхилення, і коливання дійдуть до точки 3. При точка 1 досягне максимального негативного зсуву, точка 2 повернеться в стан рівноваги і коливання досягнуть точки 4. Нарешті, за час, що дорівнює періоду t = Т , точка 1 повернеться в стан рівноваги, зробивши повністю одне коливання. Коливання поширилися до точки 5, все що коливаються точки утворюють хвилю. При подальших коливаннях точок хвильової процес пошириться вправо від точки 5. У розглянутому випадку освіти поперечної хвилі кожна частинка рухається тільки вгору і вниз. У спостерігача ж створюється враження, що «хвиля біжить», хоча в дійсності відбувається тільки передача руху від однієї точки середовища до іншої.
У момент часу дорівнює періоду (t = Т), точки 1 і 5, що знаходяться в положенні рівноваги, мають однакове зміщення і однакове напрямок руху (вгору). Тому кажуть, що точки I і 5 мають однакові фази. На відміну від цього точки 1 і 3, хоча зміщення у них однакові, рухаються в протилежні сторони, тому говорять, що точки 1 і 3 знаходяться в протилежних фазах. Відстані між точками 1 і 5 визначає довжину хвилі λ тобто довжиною хвилі λ називається, відстань між найближчими точками хвилі, що коливаються в однакових фазах. Періодом хвилі Т називають час одного повного коливання її точок. Величина, зворотна періоду, називається частотою хвилі. Швидкість хвилі визначається швидкістю поширення коливань від однієї точки середовища до іншої: Так як то,
Швидкість поширення хвиль тим менше, ніж інертніші середовище, тобто чим більше її щільність. З іншого боку, вона має більше значення в більш пружною середовищі, ніж в менш пружною. Швидкість поздовжніх хвиль визначається за формулою:, а поперечної:
де ρ- щільність середовища, E - модуль Юнга, G - модуль зсуву. Так як для більшості твердих тіл E> G то швидкість поздовжніх хвиль більше швидкості поперечних.