про визначення
- (Позитивність) площа неотрицательна;
- (Нормування) квадрат зі стороною одиниця має площу 1;
- неконгруентні фігури мають рівну площу;
- (Адитивність) площа об'єднання двох фігур без спільних внутрішніх точок дорівнює сумі площ.
Певний клас повинен бути замкнутий щодо перетину і об'єднання, а також щодо рухів площини і включати в себе всі багатокутники. З цих аксіом слід монотонність площі, тобто
- Якщо одна фігура належить іншій формі, то площа першої не перевищує площі другий:
Найчастіше за «певний клас» беруть безліч квадрованою фігур. Фігура F називається квадрованою. якщо для будь-якого існує пара багатокутників P і Q. такі що і, де S (P) позначає площа P.
пов'язані визначення
- Дві фігури називаються рівновеликими. якщо вони мають рівну площу.
Насправді, є досить неприродний і неоднозначний спосіб визначити площу для всіх обмежених підмножин площині. На безлічі всіх обмежених підмножин площині існують різні функції площі, т. Е. Не рівні функції, що задовольняють вищенаведеним аксіомам, а безліч квадрованою фігур є максимальним безліччю фігур на яких функціонал площі визначається однозначно.
Те ж саме можна зробити для довжини на прямий, але не можна для обсягу в евклідовому просторі і також не можна для площі на одиничній сфері в евклідовому просторі, (дивись відповідно парадокс Банаха - Тарського і парадокс Хаусдорфа).
Площі деяких фігур
Площа прямокутника зі сторонами а і b дорівнює добутку їх сторін: S = ab.
Площа довільного чотирикутника дорівнює половині твори діагоналей і синуса кута між ними.
Площа трикутника дорівнює половині твори підстави, помноженого на висоту.