Квадратичні ірраціональні числа, їх ланцюгові дроби та їх паліндроми

Дійсне число представлено ланцюгової дробом з цілими неповними приватними (пишуть), якщо

Приклад ( "Золотое сечение"):

Ж. Л. Лагранж довів, що послідовність неповних приватних ланцюгового дробу (починаючи з деякого місця) періодична, якщо і тільки якщо число - квадратична ірраціональність.

Р. О. Кузьмін довів, що в послідовності неповних приватних майже будь-якого дійсного числа частка рівних неповних приватних однакова (для типових дійсних чисел). Частка убуває при як "/> і її величина була передбачена Гауссом (нічого не довели).

В. І. Арнольда висловив (років 20 тому) гіпотезу, що статистика Гаусса-Кузьміна виконується також для періодів ланцюгових дробів коренів квадратних рівнянь (з цілими і): якщо виписати разом неповні приватні, складові періоди всіх ланцюгових дробів коренів таких рівнянь з, то частка неповного приватного mm серед них буде прагнути до числа при. В. А. Биковський зі своїми Хабаровським учнями довели недавно цю давню гіпотезу.

Незважаючи на це, питання про статистиці не букв, а складених з них слів, які є періодами ланцюгових дробів будь-яких коренів x рівнянь далеко не вирішене.

А саме, статистика таких слів зовсім не збігається зі статистикою всіх випадкових слів з неповних приватних, які відповідають статистиці Гаусса-Кузьміна (навіть якщо слова задовольняють їй для всіх кінцевих послідовностей неповних приватних, а не тільки для їх індивідуальних значень,).

Таким же властивістю паліндромності мають ланцюгові дроби квадратних коренів з раціональних чисел (для коренів з цілих чисел це помітив уже Галуа). Зі статистики Гаусса-Кузьміна паліндромний зовсім не випливає.

Але ентопійно-криптографічні міркування показують, що, крім паліндромності, періоди ланцюгових дробів квадратних коренів з раціональних чисел (і коренів квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами) повинні володіти ще цілим рядом спеціальних властивостей (які ще належить відкрити).

Інша серія результатів про статистику періодичних ланцюгових дробів описує поведінку довжини періоду ланцюгового дробу кореня рівняння (що дорівнює одиниці для золотого перетину). Середнє (R) "/> довжини періоду по колу радіуса зростає з лінійно (хоча сама довжина періоду зростає по-різному при видаленні від нуля за різними напрямками), причому це зростання нагадує поведінку квадратного кореня з дискриминанта розглянутого рівняння. (У разі, коли коріння раціональні, період вважається нулем).

У доповіді більше гіпотез, дослідження яких є школярам, ​​особливо озброєним комп'ютерами, ніж доведених теорем (і, тим більше, доказів): передбачається, що слухачі відкриють на цьому шляху нові властивості ланцюгових дробів квадратичних иррациональностей.

Арнольд Володимир Ігоревич, доктор фізико-математичних наук, академік РАН.

Ми знаємо про Діофанта небагато. Здається, він жив в Олександрії. Ніхто з грецьких математиків не згадує його до IV століття, так що він ймовірно жив в середині III століття. Найголовніша робота Діофанта, «Арифметика» (Ἀριθμητικά), відбулася на початку з 13 «книгах» (βιβλία), т. Е. Главах. Ми сьогодні маємо 10 з них, а саме: 6 в грецькому тексті і 4 інших в середньовічному арабському перекладі, місце яких в середині грецьких книг: книги I-III по-грецьки, IV-VII по-арабськи, VIII-X по-грецьки . «Арифметика» Діофанта насамперед збори завдань, всього близько 260. Теорії, по правді кажучи, немає; є тільки загальні інструкції в введенні книги, і приватні зауваження в деяких завданнях, коли потрібно. «Арифметика» вже має риси алгебраїчного трактату. Спершу Діофант користується різними знаками, щоб висловлювати невідоме і його ступеня, також і деякі обчислення; як і всі алгебраїчні символіки середньовіччя, його символіка походить від математичних слів. Потім, Діофант пояснює, як вирішити задачу алгебраїчним способом. Але завдання Діофанта НЕ алгебраїчні в звичайному сенсі, тому що майже всі зводяться до вирішення невизначеного рівняння або систем таких рівнянь.

Світ математики немислимий без них - без простих чисел. Що таке прості числа, що в них особливого і яке значення вони мають для повсякденного життя? У цьому фільмі британський професор математики Маркус дю Сотої відкриє таємницю простих чисел.

У школі нам всім прищеплюється помилкове уявлення про те, що на безлічі раціональних чисел Q є єдине природне відстань (модуль різниці), щодо якого всі арифметичні операції безперервні. Однак існує ще безліч відстаней, так званих p-адіческіх, по одному на кожне число p. Згідно з теоремою Островського, «звичайне» відстань разом з усіма p-адіческімі вже дійсно вичерпують всі розумні відстань Q. Термін адельная демократія введений Ю. І. Маніним. Відповідно до принципу адельной демократії, всі розумні відстані на Q є рівними перед законами математики (може бути, лише традиційне «трохи = трохи рівніші ...». У курсі буде введено кільце Адель, що дозволяє працювати з усіма цими відстанями одночасно.

Проскуряков И. В.

Метою цієї книги є суворе визначення чисел, многочленів і алгебраїчних дробів та обґрунтування їх властивостей, вже відомих зі школи, а не ознайомлення читача з новими властивостями. Тому читач не знайде тут нових для нього фактів (за винятком, можливо, деяких властивостей, дійсних і комплексних чисел), але дізнається, як можна довести речі, добре йому відомі, починаючи з «двічі два - чотири» і закінчуючи правилами дій з многочленами і алгебраїчними дробами. Зате читач познайомиться з рядом загальних понять, які грають в алгебрі основну роль.

Коректно відповісти на це питання не можна, оскільки числовий ряд не має верхньої межі. Так, до будь-якого числа достатньо всього лише додати одиницю, щоб отримати число ще більше. Хоча самі числа нескінченні, власних назв у них не так вже й багато, так як більшість з них задовольняються іменами, складеними з чисел менших. Зрозуміло, що в кінцевому наборі чисел, яких людство нагородило власним ім'ям, має бути якесь найбільше число. Але як воно називається і чому воно дорівнює? Давайте ж, спробуємо в цьому розібратися і заодно дізнатися, наскільки великі числа придумали математики.

Курс являє собою букет з трьох дуже старих і трьох дуже нових ідей. Основний об'єкт - число цілих (тобто з цілими координатами) точок в многограннике. Навіщо потрібні цілі точки? Кілька прикладів: багатогранник Ньютона, Теорема Бріоні - для початку без докази, просто в якості фокусу, а також підрахунок цілих метричних стрічкових графів. Число цілих точок в опуклому многограннике поводиться як поліном. Згідно конструкції, в поліном, що обчислює число цілих точок, має сенс підставляти лише позитивні числа. Щоб надати сенс негативною підстановці, потрібні віртуальні багатогранники. Двоїстість Ерхарт і її природне узагальнення. Секрет фокуса Бріоні.

Олексій Бєлов, Іван Митрофанов

У цьому курсі буде розказано про підстановлювальних системах досить загального вигляду і про пов'язаних з ними геометричних конструкціях, які називаються фракталами Розі. Наприклад, слово Трібоначчі 121312112131 ... складається з цифр і виходить за допомогою підстановки 1 → 12, 2 → 13, 3 → 1. Виявляється, що воно в деякому сенсі влаштовано так само, як двовимірний тор, розбитий на три частини з фрактальної кордоном. (В те, що на першому малюнку зображена розгортка тора, важко повірити, але тим не менше це так, і друга картинка це ілюструє).

Як «одиниця» допомогла побудувати перші міста і великі імперії? Як надихала видатних уми людства? Яку роль в появі грошей вона зіграла? Як «одиниця» об'єдналася з нулем, щоб правити сучасним світом? Історія одиниці нерозривно пов'язана з історією європейської цивілізації. Террі Джонс відправляється в гумористичне подорож з метою зібрати воєдино дивовижну історію нашого найпростішого числа. За допомогою комп'ютерної графіки в цій програмі одиниця оживає в самих різних іспостасях. З історії одиниці стає ясно, звідки з'явилися сучасні числа, і яким чином винахід нуля врятувало нас від необхідності сьогодні використовувати римські цифри.