Розглянемо дію відцентрової сили на вал з одним диском (вал розташовується вертикально для того, щоб виключити прогин під дією власної маси диска, а дія відцентрової сили розглянути в чистому вигляді).
Центр тяжкості нерухомого вала з диском розташований на відстані від його осі (рис. 5.5. А). З'являється при обертанні ротора відцентрова сила викликає прогин у валу, величина якого залежить від сили. розмірів і матеріалу вала, а також від розташування диска щодо опор. Відцентрова сила, що збільшується з підвищенням частоти обертання, є періодичною силою, яка додається до пружною балці (валу) і викликає гармонійні коливання системи. Вона врівноважується пружною силою. яка пропорційна прогину.
5.5 Положення центра ваги диска при різній частоті обертання
Обертання вала відбувається навколо вертикальної осі (рис. 5.5. Б), де показані траєкторії точок і навколо центру обертання (точки).
Рівняння рівноваги пружної системи має вигляд
де - маса диска, кг; - кутова швидкість, рад / с; і. м.
де - сила пружності, рівна силі, що викликає прогин вала в 1 см, але протилежно їй спрямована.
Підставляючи значення величин і в (5.6), отримаємо
Отже, зі збільшенням кутової швидкості (кругової частоти вимушених коливань ротора) прогин (амплітуда вимушених коливань вала) зростає і при деякому значенні величина.
З теорії коливань пружних систем відомо, що при резонансі (збігу частот власних і вимушених коливань пружної системи) амплітуда коливань теоретично дорівнює нескінченності. тобто вал повинен зламатися.
З (5.9) випливає, що
Звідси резонансна кругова частота, або, як її інакше називають, критична кутова швидкість обертання
а критична частота обертання ()
Підставляючи значення маси. отримаємо
де. кг; - сила тяжіння диска; ; м / с 2.
Насправді при критичній частоті обертання виникають резонансні коливання, але вал відразу не ламається внаслідок дії сил опору. До них відносяться внутрішні сили тертя матеріалу вала, тертя поверхні ротора про навколишнє середовище і тертя в підшипниках. Амплітуда коливань при резонансі зростає тим менше, чим більше коефіцієнт опору.
Робота турбіни при критичній частоті обертання супроводжується значною вібрацією і при тривалій роботі може привести до аварії. Якщо швидко перейти критичну частоту обертання, тобто підвищити кругову частоту вимушених коливань в порівнянні з круговою частотою власних коливань, то мінімальна тривалість переходу через критичну частоту обертання зумовить розвиток вібрації. При дуже швидкому переході можна домогтися, що резонансні коливання не посиляться, і вал буде працювати без помітних коливань. При відносно повільному переході критичної частоти обертання резонансні коливання з'являться, але в міру віддалення від критичної частоти обертання вони будуть затухати.
Підставимо значення з (5.8) в (5.7), тоді
Цей вислів позитивно при і негативно при. Кутова частота обертання є кругову частоту вимушених коливань вала, а - кругову частоту власних коливань.
Використовуючи висновки теорії коливань, які стосуються зсуву фаз між власними коливаннями (характеризуються прогином) і обурює (відцентрової) силою, яка визначається напрямком ексцентриситету. можна записати рівняння зсуву фаз для коливань вала, позначивши і.
Залежність від відносини частот побудована по (5.13) для різних значень коефіцієнта загасання. називається фазовою характеристикою (рис. 5.6). Вимушені коливання завжди відстають по фазі від допустимої сили, причому величина відставання лежить в межах від 0 до. Зі збільшенням зрушення фаз поступово збільшується. В інтервалі кут позитивний і менше 90 0. У момент резонансу, тобто при. зсув фаз (відбувається перекидання фази). При подальшому збільшенні коли. зміна зсуву фаз відбувається уповільнено в інтервалі.
Мал. 5.6 Фазові характеристики затухаючих коливань
Коефіцієнт загасання впливає на зміну зсуву фаз наступним чином:
- при. яка прагне до нуля, криві прагнуть до граничної кривої, що має розрив в момент резонансу;
- при збільшенні зрушення фаз в інтервалі відбувається швидше, а в інтервалі повільніше.
Якщо коефіцієнт малий і частота вимушених коливань значно більше частоти власних коливань. то кут зсуву фаз наближається до 180 0 (рис. 5.5. г). Останнє слід також з рівняння (5.13), в якому при знаменник стає негативним, отже, негативним повинен бути і ексцентриситет. Повторивши доказ для кутової швидкості більше критичної (), як і в випадку отримаємо
Звідси випливає, що зі збільшенням кутової швидкості величина прогину зменшується, при стає рівною ексцентриситету. Отже, небезпечними для турбіни є частоти обертання, близькі до критичної. При частоті обертання, досить віддаленій в обидві сторони від критичної частоти обертання, вал турбіни працює без вібрацій.
У парових турбінах застосовують так звані жорсткі і гнучкі вали.
Жорстким валом називається такий, у якого робоча частота обертання (частота вимушених коливань), а гнучким - у якого робоча частота обертання вище критичної.
Вали сучасних потужних турбоагрегатів виконують гнучкими. При пуску турбіни з гнучким валом для запобігання розвитку резонансних коливань проходити критичну частоту обертання необхідно за короткий проміжок часу. Для спокійної роботи вала робоча частота обертання повинна відрізнятися від критичної, по крайней мере, на 20 ... 30%. Критична частота обертання при гнучких валах не повинна відрізнятися від робочої, так як при робочій частоті обертання може наступити другий тон коливань.
У турбінах зі змінною частотою обертання зазвичай застосовують жорсткі вали, критична частота обертання яких на 20 ... 30% і більше вище максимальної робочої частоти обертання.
Розглянемо коливання горизонтального вала рис. 5.7. Під дією сили тяжіння диска. спрямованої вниз, вал прогинається на величину статичного прогину. Центр ваги розташований на відстані від осі вала. При обертанні вала з кутовою швидкістю (меншою критичної) утворюється відцентрова сила. що викликає прогин його і спрямована по радіусу від центру, тому обертання валу буде відбуватися навколо пружної лінії (рис. 5.7. б).
Мал. 5.7 Положення центра ваги горизонтального вала
На рис. 5.7 б зображені траєкторії точок. а також відцентрова сила в чотирьох положеннях центру ваги при повороті вала на 90 0. У цьому випадку центр ваги описує коло радіусом. тому, як і в разі вертикального вала.
Ця сила врівноважується пружною силою. Звідси випливає, що всі висновки, зроблені для вертикального вала, поширюються і на горизонтальний вал, а величина критичної кутової швидкості не залежить від розташування вала.
Викладене вище підтверджується положенням Стодола, що прогин вала під дією маси диска не впливає на критичну частоту обертання, яка залишається без зміни при вертикальному і горизонтальному положенні вала. Знайдемо залежність між статичним прогином і критичної частотою обертання. Статичний прогин можна визначити як
Підставляючи значення в (5.12), отримаємо (з -1)
Таким чином, критична частота обертання змінюється обернено пропорційно кореню квадратному з статичного прогину вала, тобто зі збільшенням прогину вала зменшується в квадраті.
Статичний прогин залежить від жорсткості ротора, довжини вала, способу кріплення його кінців і характеру розподілу навантаження. У загальному випадку рівняння статичного прогину відповідно до рівняннями опору матеріалів можна записати як
де - коефіцієнт, що залежить від способу кріплення кінців вала і характеру навантаження; - довжина вала; - момент інерції вала.
Наприклад, для вала, вільно лежить на двох опорах з навантаженням посередині; з диском, розташованим на відстані від опори (рис. 5.7 а).
Згідно (5.17) статичний прогин вала, а отже, і критична частота обертання (5.16) в значній мірі залежить від довжини вала, так як прогин його пропорційний кубу довжини. При розрахунку критичної частоти обертання необхідне значення можна отримати, змінюючи діаметр вала.
Момент інерції вала
Отже, статичний прогин вала, а отже, і критична частота обертання значно залежать від його діаметра. Наприклад, якщо діаметр вала збільшити в два рази, то прогин зменшиться приблизно в 16 разів, а критична частота обертання (5.16) збільшиться приблизно в чотири рази.
Критична частота обертання валу постійного перерізу з
рівномірно розподіленим масою
Вал постійного перетину з рівномірно розподіленим масою по довжині (при) обертається, маючи прогин. Для визначення його критичної частоти скористаємося диференціальним рівнянням коливань призматичного стержня, яке запишеться у вигляді
Тут - кутова швидкість обертання; - маса одиниці довжини вала.
Загально рішення диференціального рівняння (5.18), що містить чотири довільних постійних, має вигляд
З огляду на граничні умови для вала, вільно лежить на двох опорах, отримуємо систему однорідних рівнянь, при спільному вирішенні яких визначаються довільні постійні:
Рівняння (5.21) задовольняється, якщо
З виразів (5.19) і (5.20) отримаємо формули для визначення критичної кутової швидкості:
де - маса одиниці довжини; - маса всього тіла.
Остаточне рівняння пружної лінії вала отримуємо з (5.20) при
Отже, пружна лінія при коливаннях вагомого вала без дисків є синусоїдою. При коливаннях:
а) 1-го тону - вал не має вузловий точки (ріс.5.8. а);
б) 2-го тону - є одна вузлова точка і на довжині вала розташовуються дві напівхвилі (ріс.5.8. б);
в) 3-го тону - є дві вузлові точки і три напівхвилі (ріс.5.8. в).
На противагу нагоди невагомого вала з одним диском, розглянутого раніше, для вала постійного перетину з рівномірно розподіленим масою виходить нескінченно велике число критичних швидкостей. Ставлення критичних швидкостей обертання при різних коливаннях для розглянутого валу відповідно до (5.24) становить:
Мал. 5.8 Різні форми коливань вагомого вала без дисків:
а - 1-й тон; б - 2-й тон; в - 3-й тон
Критична частота обертання
де - сила тяжіння вала, Н; м / с 2.
Прогин вала під дією статичного навантаження від власної маси
З огляду на (5.25) і (5.26), отримаємо